Trójkąt Sierpińskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Trójkąt Sierpińskiego jest samopodobny

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoît Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915[1].

Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego.

Fraktal ten można też utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno nieparzyste jego liczby[2].

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech T będzie trójkątem ABC.

  • Dzieląc T na cztery mniejsze trójkąty  T_1, T_2, T_3 i  S, gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta S, traktując S jako zbiór otwarty, a trójkąty T_i za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: S i  T_1\cup T_2 \cup T_3. Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np T_1\cap T_2 zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
  • Każdy trójkąt T_i dzieli się na cztery mniejsze trójkąty  T_{i,1}, T_{i,2}, T_{i,3} i  S_i w podobny sposób.
  • Każdy trójkąt T_{i,j} dzieli się na cztery mniejsze trójkąty  T_{i,j,1}, T_{i,j,2}, T_{i,j,3} i  S_{i,j}, i tak dalej.
Animated construction of Sierpinski Triangle.gif
Kolejne kroki Puszek w konstrukcji trójkąta Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru

 S \cup (S_1\cup S_2\cup S_3) \cup (S_{11}\cup\cdots ) \cup \cdots
Trójkąt Sierpińskiego

Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3 / ln 2 = 1,585...

Reprezentacja cyfrowa[edytuj | edytuj kod]

Każdy ciąg (a_0, a_1, \ldots) (gdzie a_i\in \{1,2,3\}) określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze  T \cap T_{a_0} \cap T_{a_0, a_1}\cap \cdots. Odwrotnie, dla każdego punktu P można znaleźć taki ciąg określający ten punkt, tzw. reprezentację cyfrową punktu P. Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju T_1 \cap T_2 ma reprezentację (1,2,2,2,\ldots\,) i jednocześnie reprezentację (2,1,1,1,\ldots\,).

Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos[edytuj | edytuj kod]

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC, i definiujmy D0 := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między Dn i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez Dn+1. Każdy punkt Dn będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D0, D1,...}.

Jeśli wybieramy D0 nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D0 należy do trójkąta ABC ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt Dn do tego trójkata nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D0, D1, ...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn. obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Commons in image icon.svg

Przypisy

  1. W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, "C. R. Acad. Sci. Paris" 160 (1915): 302-305
  2. Math Forum: Pascal's Triangle

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]