Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego jest samopodobny

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.

Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego.

Fraktal ten można też utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno nieparzyste jego liczby.

Definicja formalna

Niech $T$ będzie trójkątem ABC.

• Dzieląc $T$ na cztery mniejsze trójkąty $T_1, T_2, T_3$ i $S$, gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta $S$, traktując $S$ jako zbiór otwarty, a trójkąty $T_i$ za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: $S$ i $T_1\cup T_2 \cup T_3$. Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np $T_1\cap T_2$ zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
• Każdy trójkąt $T_i$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty $T_{i,1}, T_{i,2}, T_{i,3}$ i $S_i$ w podobny sposób.
• Każdy trójkąt $T_{i,j}$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty $T_{i,j,1}, T_{i,j,2}, T_{i,j,3}$ i $S_{i,j}$, i tak dalej.

Trójkąt Sierpińskiego zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru

$S \cup (S_1\cup S_2\cup S_3) \cup (S_{11}\cup\cdots ) \cup \cdots$

Trójkąt Sierpińskiego

Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3 / ln 2 = 1.585...

Reprezentacja cyfrowa

Każdy ciąg $(a_0, a_1, \ldots)$ (gdzie $a_i\in \{1,2,3\}$) określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze $T \cap T_{a_0} \cap T_{a_0, a_1}\cap \cdots$. Odwrotnie, dla każdego punktu $P$ można znaleźć taki ciąg określający ten punkt, tzw reprezentację cyfrową punktu $P$. Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju $T_1 \cap T_2$ ma reprezentację $(1,2,2,2,\ldots\,)$ i jednocześnie reprezentację $(2,1,1,1,\ldots\,)$.

Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC, i definiujmy D₀ := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D_n i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D_n+1. Każdy punkt D_n będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D₀, D₁,...}.

Jeśli wybieramy D₀ nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D₀ należy do trójkąta ABC ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt D_n do tego trójkata nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D₀, D₁, ...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

Zobacz też

• zbiór Cantora
• dywan Sierpińskiego
• piramida Sierpińskiego
• kostka Mengera
• gra w chaos
• fraktal

Linki zewnętrzne

• Trójkąt Sierpińskiego (ang.) w encyklopedii MathWorld
• Trójkąt Sierpińskiego Wersja interaktywna wraz z kodem źródłowym (Processing)