Trójkąt asymptotyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Trójkąt asymptotyczny ABC_{\infty}.

Trójkąt asymptotyczny - w geometrii hiperbolicznej figura ABC_{\infty} utworzona przez dwa promienie równoległe i odcinek łączący ich początki[1].

Można go interpretować jako trójkąt, którego trzecim (poza początkami półprostych równoległych AC_{\infty} i BC_{\infty}) wierzchołkiem jest punkt w nieskończoności C_{\infty}odpowiadający pękowi[a] promieni równoległych do AC_{\infty} i BC_{\infty}.
Boki AC_{\infty} i BC_{\infty} nazywamy bokami równoległymi trójkąta asymptotycznego, a bok AB\; - bokiem skończonym. Boki równoległe trójkąta asymptotycznego są półprostymi, czyli można powiedzieć, że ich długość jest nieskończona. Trzeci bok jest odcinkiem o skończonej długości. Stąd jego nazwa.

Z twierdzenia Bolyai wynika, że kąt trójkąta asymptotycznego ABC_{\infty} w wierzchołku C_{\infty} jest równy zero. Jeśli jeden z pozostałych kątów jest prosty, to taki trójkąt nazywamy trójkątem asymptotycznym prostokątnym. Drugi z pozostałych kątów jest wtedy ostry i nazywany jest kątem równoległości lub kątem Łobaczewskiego.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli w trójkątach asymptotycznych ABC_{\infty} i DEF_{\infty} spełnione są równości |AB| = |DE|\; i \sphericalangle ABC_{\infty} = \sphericalangle DEF_{\infty}, to \sphericalangle BAC_{\infty} = \sphericalangle EDF_{\infty}[b][2]
  • Jeśli w trójkątach asymptotycznych ABC_{\infty} i DEF_{\infty} spełnione są równości \sphericalangle ABC_{\infty} = \sphericalangle DEF_{\infty} i \sphericalangle BAC_{\infty} = \sphericalangle EDF_{\infty}, to |AB| = |DE|\;[3].
  • Suma kątów dodatnich trójkąta asymptotycznego jest mniejsza od 180°.
  • Trójkąt asymptotyczny określają dwa jego dodatnie kąty[4].
  • Dwa trójkąty asymptotyczne prostokątne[c] mają ten sam kąt ostry wtedy i tylko wtedy, gdy ich boki skończone są równe. Wynika stąd, że istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie \Pi(x)\; bokom skończonym trójkąta asymptotycznego kątów równoległości, gdzie x jest długością boku skończonego[d].
  • Trójkąt asymptotyczny ma pole skończone[5].

Zastosowanie graficzne[edytuj | edytuj kod]

Parkietaż koła zrealizowany za pomocą trójkątów asymptotycznych w modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej.

W tak zwanym modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej punktami są punkty wnętrza koła, a proste są łukami okręgów prostopadłych do brzegu tego koła. Punkty brzegu koła są punktami w nieskończoności geometrii hiperbolicznej. Na ilustracji wszystkie elementy parkietażu koła są trójkątami asymptotycznymi, bo jeden z ich wierzchołków leży na okręgu ograniczającym koło. Na rysunku widać, dlaczego kąt przy wierzchołku w nieskończoności trójkąta asymptotycznego jest kątem zerowym. Oba łuki są prostopadłe do brzegu koła w tym samym punkcie, czyli są styczne do siebie. Podobne parkietaże były motywami grafik Mauritsa Eschera[6]. Grafiki oparte na motywach geometrii hiperbolicznej rozpoznać można po tym, że elementy maleją wraz ze zbliżaniem się do brzegu koła.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi

  1. Równoległość jest relacją równoważności. Z drugiej strony wiadomo (równoległość w geometrii hiperbolicznej), że promienie równoległe nieograniczenie się do siebie zbliżają. Dlatego można przyjąć, że promienie takie tworzą pęk promieni przechodzących przez punkt w nieskończoności
  2. Twierdzenie to jest analogiczne do cech przystawania trójkątów z geometrii absolutnej.
  3. Trójkąt asymptotyczny nazywamy trójkątem asymptotycznym prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest kątem prostym.
  4. Jest to natychmiastowy wniosek z własności poprzedniej.

Przypisy

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 289.
  2. Carslaw H. S.: The elements of Non-Euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916, s. 49.
  3. Coxeter, op. cit., s. 314
  4. Coxeter, op. cit., s. 314
  5. Coxeter, op. cit., s. 318
  6. Марсел Берже: Геометрия. Cz. 2. Москва: Мир, 1984, s. 301.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Carslaw H. S.: The elements of Non-Euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916.
  • Марсел Берже: Геометрия. Cz. 2. Москва: Мир, 1984, s. 283-308.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]