Trójkąt potrójnie asymptotyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Trójkąt potrójnie asymptotyczny – w geometrii hiperbolicznej, figura utworzona z trzech prostych, z których każde dwie są równoległe do siebie w pewnym kierunku[1].

Konstrukcja trójkąta potrójnie asymptotycznego[edytuj | edytuj kod]

Można udowodnić, że:

Każda para promieni nierównoległych ma jedną wspólną prostą równoległą[2][3].

Wykorzystując to twierdzenie, można skonstruować trójkąt potrójnie asymptotyczny na co najmniej dwa sposoby.

Sposób 1

Niech AB i CD będą promieniami równoległymi o początkach odpowiednio A i C. Wtedy promienie uzupełniające A/B i C/D[4] są nierównoległe, bo odległość między ich punktami rośnie. Dlatego istnieje prosta p równoległa zarówno do A/B, jak i do C/D. Dlatego proste AB, CD i p są parami równoległe, czyli tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.

Konstrukcja Gaussa trójkąta potrójnie asymptotycznego
Sposób 2 (Gaussa)[5]

Niech A, B i C będą trzema punktami płaszczyzny hiperbolicznej. Wtedy ABC jest trójkątem (skończonym). Promienie A/B, C/A i B/C są parami nierównoległe, bo proste AB, CA i BC są nierównoległe. Jeśli:

  • prosta p jest wspólną prostą równoległą do promieni A/B i C/A,
  • prosta q jest wspólną prostą równoległą do promieni C/A i B/C,
  • prosta r jest wspólną prostą równoległą do promieni B/C i A/B,

to proste p, q i r tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każde dwa trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające.
  • Każdy trójkąt potrójnie asymptotyczny ma pole skończone[6].
  • Z twierdzenia Bolyai wynika, że wszystkie kąty trójkąta potrójnie asymptotycznego są kątami zerowymi.
  • Z twierdzenia Gaussa wynika, że pole Δ dowolnego trójkąta ABC o skończonych bokach jest stałą wielokrotnością defektu trójkąta
\Delta = \mu (\pi - \measuredangle A - \measuredangle B - \measuredangle C) .

Wtedy pole każdego trójkąta potrójnie asymptotycznego jest równe

\Delta = \mu \cdot \pi .
  • Punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt potrójnie asymptotyczny są wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku
d=4\ln\varphi\approx 1.925,
gdzie \varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2} jest złotym stosunkiem[7]

Zastosowania w grafice[edytuj | edytuj kod]

Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych.
Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych o grupie symetrii trójkąta równobocznego.

Podobnie jak trójkąty asymptotyczne i trójkąty podwójnie asymptotyczne trójkąty potrójnie asymptotyczne można wykorzystywać w grafice do tworzenia parkietaży koła.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 316.
  2. Carslaw H. S.: The Elements of Non-euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916, s. 76.
  3. Coxeter, op. cit., s. 315
  4. Promieniem uzupełniającym do promienia AB nazywamy zbiór punktów prostej AB leżących po przeciwnej stronie punktu A niż punkt B.
  5. Coxeter, op. cit., s. 320
  6. Coxeter, op. cit., s. 318
  7. Isogonalité et autres dans le modèle de Klein Beltrami (fr.). cabri.net. [dostęp 2011-12-11].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Carslaw H. S.: The Elements of Non-euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916.