Trójkąty podobne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Trójkąty podobne

Dwa trójkątypodobne, gdy ich odpowiednie boki są parami proporcjonalnymi. tzn. gdy można dobrać nazwy dla wierzchołków w pierwszym i drugim trójkącie odpowiednio A,B,C oraz A’,B’,C’ tak, aby

\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=s

gdzie s\; jest pewną (x≠0) liczbą zwaną skalą podobieństwa.

Szczególny przypadek podobieństwa dwóch figur.

Podobieństwo trójkątów o ustalonych nazwach wierzchołków symbolicznie zapisujemy ΔABC~ΔA'B'C'.

Należy przy tym pamiętać, że podobieństwo trójkątów jest relacją między dwiema figurami niezależną od sposobu i kolejności nazwania ich wierzchołków. Czyli jeśli ΔABC~ΔA'B'C' to także np. ΔBAC~ΔA'C'B' oraz ΔCBA~ΔB'C'A'. Oznacza to, że w napisie ΔABC układ liter ABC komfortowo jest rozumieć jako zbiór wierzchołków a nie uporządkowany ciąg wierzchołków.

W ujęciu kleinowskiej teorii niezmienników grupy podobieństw problem (pozornie) upraszcza się, bowiem tam postulujemy istnienie pewnego podobieństwa przenoszącego jeden trójkąt na drugi i wierzchołków obu trójkątów nie musimy w ogóle nazywać.

Relacja podobieństwa w zbiorze trójkątów jest równoważnością.

Jeśli trójkąty są podobne, to:

  • wszystkie szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych, promienie kół: opisanego i wpisanego itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali s.
  • stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)[edytuj | edytuj kod]

Trójkąty są podobne jeśli zachowane są:

  1. Cecha bbb (bok-bok-bok) - stosunki długości odpowiednich par boków (z definicji).
  2. Cecha bkb (bok-kąt-bok) - stosunki długości dwóch par boków i miary kątów między tymi bokami
  3. Cecha kkk (kąt-kąt-kąt) - zachowane są miary odpowiednich kątów (tu wystarczy równość dwóch par kątów czyli cecha kk bo ostatnia para kątów też musi być równa, bowiem suma ich miar jest równa 180°).

Podobieństwo w innych geometriach[edytuj | edytuj kod]

Podobieństwo ze wszystkimi jego własnościami występuje jedynie w geometrii euklidesowej. W geometriach eliptycznej i hiperbolicznej równość odpowiednich trzech kątów oznacza równość odpowiednich boków. Sprowadza się to do przystawania trójkątów. I odwrotnie - dla dowolnych dwóch trójkątów, w których długości boków w jednym są różne ale proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta równości kątów nie są zachowane. Nie będą zachowane także m.in. proporcje wysokości, proporcje środkowych itd.

Ogólnie - podobieństwo jako funkcja zachowująca stosunki odległości dowolnych dwóch punktów w tych geometriach sprowadza się więc do izometrii.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich

Pomiar wysokości piramidy[edytuj | edytuj kod]

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.

PiramidaTales-grafik.svg

Ponieważ trójkąty OAA' i OBB' są podobne zachodzi proporcja: \frac{|OA|}{|AA'|}=\frac{|OB|}{|BB'|} skąd |BB'|=\frac{|AA'|\cdot|OB|}{|OA|}.
Znając |AA'| - długość kija, mierząc |OA| - długość jego cienia i |OB| - długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość

Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób - wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Pomiar odległości statku od brzegu[edytuj | edytuj kod]

Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na horyzoncie. Statek tales.svg

Z podobieństwa trójkątów OA'B' i OAB mamy: \frac{|OA'|}{|A'B'|}=\frac{|OA|}{|AB|} czyli \frac{|x+AA'|}{|A'B'|}=\frac{x}{|AB|} skąd x=\frac{|AA'|\cdot|AB|}{|A'B'|-|AB|}

Mierząc długości odcinków występujących w tej równości wyznaczamy x.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]