Funkcja kwadratowa

Wykres przykładowej funkcji kwadratowej w kartezjańskim układzie współrzędnych:$f(x)=x^{2}-x-2.$ Ma ona dwa miejsca zerowe (pierwiastki): $f(-1)=f(2)=0,$$x_{1}=-1,x_{2}=2.$ Pozwala to na zapis w postaci iloczynowej – rozkład na czynniki liniowe: $f(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})=$$(x+1)(x-2).$

Funkcja kwadratowa, funkcja stopnia drugiego – typ funkcji matematycznej o co najmniej dwóch równoważnych definicjach:

• $f(x)=ax^{2}+bx+c,$

gdzie $a,b,c$ są pewnymi stałymi, przy czym $a\neq 0$;

• $f(x)=a(x-p)^{2}+q,$

gdzie $p,q$ również są dowolnymi stałymi.

Pierwszy wzór jest znany jako postać ogólna funkcji kwadratowej lub trójmian kwadratowy, a drugi jako postać kanoniczna. Definicje te są równoważne, ponieważ pierwszą postać można zawsze przekształcić do drugiej i odwrotnie, co opisano w dalszej sekcji.

Dziedziną funkcji kwadratowej mogą być liczby rzeczywiste, co przy rzeczywistych współczynnikach daje też rzeczywisty zbiór wartości: $f[\mathbb {R} ]\subset \mathbb {R}$. Przez to za przeciwdziedzinę można przyjąć oś rzeczywistą lub jej podzbiór; taka funkcja jest przykładem funkcji rzeczywistej, a jej wykresem jest parabola. Funkcje kwadratowe można też definiować dla argumentów zespolonych i z innych zbiorów z działaniami dodawania i mnożenia; algebra abstrakcyjna nazywa część takich struktur ciałami, pierścieniami i półpierścieniami, zależnie od własności tych działań.

Zagadnienie miejsc zerowych takiej funkcji to równanie kwadratowe. Jeśli ma ono rozwiązania, to istnieje także postać iloczynowa takiej funkcji – rozkład na czynniki liniowe. W dalszej sekcji opisano ją bliżej, m.in. pokazano, że zawsze można przekształcić taką postać do dwóch pozostałych.

Uogólnienia funkcji kwadratowych to:

• funkcje wielomianowe wyższych stopni – funkcja kwadratowa ma stopień dwa;
• formy kwadratowe – można je traktować jako funkcje wielu zmiennych.

Postacie funkcji kwadratowej

Ogólna (wielomianowa) i kanoniczna

Postać ogólną można przekształcić do kanonicznej i odwrotnie za pomocą wzorów skróconego mnożenia, konkretniej kwadratu sumy:

${\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=a(x^{2}-2px+p^{2})+q=\\&=ax^{2}-2apx+ap^{2}+q,\end{aligned}}$

co daje wzory:

${\begin{aligned}b&=-2ap,\ c=ap^{2}+q,\\p&=-{\frac {b}{2a}},\\q&=c-ap^{2}=c-a\cdot {\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}=\\&={\tfrac {4ac}{4a}}-{\tfrac {b^{2}}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}},\\\Delta &:=b^{2}-4ac.\end{aligned}}$

Wyrażenie $\Delta$ (delta) nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej $f$. Z postaci ogólnej do kanonicznej można też przejść inaczej, również wykorzystując wzór na kwadrat sumy:

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=ax^{2}+bx+{\tfrac {b^{2}}{4a}}-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+c=\\&=a\left(x^{2}+2x{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+{\tfrac {4ac}{4a}}=\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a}}.\end{aligned}}$

Postać kanoniczna ułatwia określenie wykresu.

Miejsca zerowe

Wykresy różnych funkcji kwadratowych zmiennej rzeczywistej w kartezjańskim układzie współrzędnych; różnią się liczbą miejsc zerowych przez różne znaki wyróżnika.

W dziedzinie rzeczywistej liczba miejsc zerowych takiej funkcji – zwanych też pierwiastkami – wynosi 0, 1 lub 2. Zależy to od znaku wyróżnika ($\Delta$), co można uzasadnić za pomocą postaci kanonicznej i jej związku z postacią ogólną:

${\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=0,\\a(x-p)^{2}&=-q,\\(x-p)^{2}&=-{\frac {q}{a}}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}.\end{aligned}}$

Możliwość dalszych przekształceń w obrębie liczb rzeczywistych zależy od tego, czy prawa strona równania ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. To z kolei zależy od jej znaku, który jest taki sam, jak ten wyróżnika. W przypadku nieujemnym ($\Delta \geqslant 0$) otrzymuje się:

${\begin{aligned}x-p&=\pm {\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}=\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{\sqrt {4a^{2}}}},\\x&=p\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}.\end{aligned}}$

Ostatecznie jeśli wyróżnik jest:

• dodatni ($\Delta >0$), to miejsca zerowe są dwa:

$x_{1}={\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\ x_{2}={\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}};$

• zerowy ($\Delta =0$), to miejsce zerowe jest jedno:

$x_{1}=x_{2}={\tfrac {-b}{2a}}=p;$

jest nazywane podwójnym jako pierwiastek dwukrotny wielomianu wyznaczającego funkcję;

• ujemny ($\Delta <0$), to nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.

W dziedzinie zespolonej rozwiązania istnieją zawsze i są dane powyższymi wzorami; w przypadku ujemnego wyróżnika ($\Delta <0$) jego algebraiczne pierwiastki kwadratowe są liczbami urojonymi: ${\sqrt {\Delta }}\in i\mathbb {R}$. To istnienie rozwiązań dla dowolnych współczynników jest szczególnym przypadkiem zasadniczego twierdzenia algebry. Jeśli współczynniki funkcji ($a,b$) są przy tym rzeczywiste, to miejsca zerowe różnią się tylko znakiem części urojonej. O takich liczbach mówi się, że są względem siebie sprzężone.

Wzory Viète’a

Są to wzory m.in. na sumę i iloczyn miejsc zerowych różnych funkcji; dla funkcji kwadratowej są dwa takie wzory:

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-{\tfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}&={\tfrac {c}{a}}.\\\end{aligned}}$

Istnieje też związek różnicy miejsc zerowych z wyróżnikiem:

${\begin{aligned}x_{2}-x_{1}={\frac {\sqrt {\Delta }}{a}},\\\Delta =a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}.\end{aligned}}$

To wszystko pozwala odtworzyć postacie ogólną i kanoniczną z miejsc zerowych oraz współczynnika wiodącego ($a$):

${\begin{aligned}b&=-a(x_{1}+x_{2}),\\c&=ax_{1}x_{2},\\p&={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\\q&=-{\frac {\Delta }{4a}}=-{\frac {a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}}{4a}}=\\&=-a{\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}.\end{aligned}}$

Postać iloczynowa

Jeśli funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe $x_{1},x_{2}$ – niekoniecznie różne – to można ją zapisać w jeszcze jednej postaci:

${\begin{aligned}f(x)&=a(x-x_{1})(x-x_{2})=\\&=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right).\end{aligned}}$

W dziedzinie rzeczywistej jest to możliwe, jeśli wyróżnik jest nieujemny ($\Delta \geqslant 0$) – wtedy jego pierwiastek kwadratowy jest rzeczywisty. W dziedzinie zespolonej jest to zawsze możliwe – jeśli wyróżnik jest ujemny ($\Delta <0$), to

${\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}},$ gdzie $i$ jest jednostką urojoną.

Postać iloczynową można wyprowadzić z kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów ($a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$):

${\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=a\left[(x-p)^{2}+{\frac {q}{a}}\right]=\\&=a\left[(x-p)^{2}-{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}^{2}\right]=\\&=a\left[(x-p)-{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}\right]\left[(x-p)+{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}\right]=\\&=a\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}-{\sqrt {\tfrac {\Delta }{4a^{2}}}}\right]\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right]=\\&=a\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right]\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right].\end{aligned}}$

Postać iloczynowa umożliwia inne wyprowadzenie jednego ze wzorów na postać kanoniczną:

${\begin{aligned}q&=f(p)=a(p-x_{1})(p-x_{2})=\\&=a{\Big (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-x_{1}{\Big )}{\Big (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-x_{2}{\Big )}=\\&=a{\Big (}{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}{\Big )}{\Big (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Big )}=\\&=-a{\Big (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Big )}^{2}.\end{aligned}}$

Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych

Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dla różnych wartości współczynników $a,b,c.$

Funkcja kwadratowa zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach ma wykres – w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej jest nim parabola. Jej wierzchołkiem jest punkt $(p,q),$ gdzie $p,q$ są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor $[p,q]$ względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią $OX$ układu. W szczególności $p={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},$ co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:

• każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi $OY;$
• $a>0$ daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi $OY,$ jeżeli $a<0,$ to są one skierowane przeciwnie,
• zwiększanie $|a|$ sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
• zmiana $b$ powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią $OY$ przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem $OX,$ jeżeli $b<0,$ lub przeciwnie do niego, jeżeli $b>0,$
• parametr $c$ odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż $OY$ zgodnie z jej zwrotem, gdy $c>0,$ lub przeciwnie do niego, gdy $c<0.$

Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli:

$f_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1},$

$f_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2},$

to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem $f_{2}(x)$ względem paraboli będącej wykresem $f_{1}(x)$ jest równa:

$k=\left|{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right|.$

Własności rzeczywistych funkcji kwadratowych

Niżej zakłada się rzeczywistą dziedzinę i przeciwdziedzinę: $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=ax^{2}+bx+c.$

Własności ogólne

• Funkcja jest parzysta wyłącznie dla $b=0;$
• nigdy nie jest nieparzysta ani okresowa;
• monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale $(-\infty ,p],$ po czym rośnie (maleje) w przedziale $[p,\infty )$ dla $a>0\;(a<0);$
• ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie $p$ (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla $a>0$ i maksimum dla $a<0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
• przez to zbiorem wartości jest przedział:
  • $[q,\infty )$ dla $a>0$;
  • $(-\infty ,q]$ dla $a<0,$;
• wypukłość: wypukła dla $a>0$ i wklęsła dla $a<0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
• punkty przegięcia: brak.

Własności analityczne

• Brak asymptot;
• ciągłość w całej dziedzinie;
• różniczkowalność w całej dziedzinie; kolejne pochodne:

$f'(x)=2ax+b,$

$f''(x)=2a,$

$f^{(n)}\equiv 0\;\;{}$ dla $n>2,$

oznacza to, że funkcja jest gładka;

• całkowalność w sensie Riemanna i Lebesgue’a; funkcja pierwotna:

$F(x)={\tfrac {1}{3}}ax^{3}+{\tfrac {1}{2}}bx^{2}+cx+C.$

Przypadek dziedziny zespolonej

Funkcja kwadratowa $w(z)=z^{2},$ gdzie $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) $z$ w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) $w.$ Siatka izometryczna $z$ składa się z dwóch rodzin hiperbol:

${\begin{cases}u=x^{2}-y^{2},\\v=2xy.\end{cases}}$

Punktami stałymi tego odwzorowania są $0$ oraz $1$.

Przykłady i zastosowania

Geometria

• Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
• Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
• Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
• Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.

Inne działy matematyki

Liczby trójkątne to wartości pewnej funkcji kwadratowej.

• Suma ciągu arytmetycznego jest kwadratową funkcją liczby wyrazów. Przykład to suma kolejnych liczb naturalnych, zwana liczą trójkątną.
• Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.

Fizyka

• W kinematyce:
  • dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu;
  • przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej.
• W dynamice:
  • rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola;
  • dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości;
  • energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu;
  • energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.

Zobacz też

• ciąg Eulera
• jednorodna funkcja kwadratowa
• metoda Simpsona
• równanie dwukwadratowe
• zbiór Julii
• zbiór Mandelbrota

Bibliografia

• Wojciech Babiański, Lech Chańko, Karolina Wej: Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum. Warszawa: Wydawnictwo Nowa Era, 2022. ISBN 978-83-267-3486-1.
• Jerzy Królikowski, Celestyn Steckiewicz: Matematyka. Wzory, definicje i tablice. Wyd. VIII poprawione. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 1964.
• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
• Wojciech Żakowski: funkcja stopnia drugiego, równanie kwadratowe [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

Literatura dodatkowa

• Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne

Nagrania kanału Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-01-15]:

• Piotr Stachura, Rysowanie paraboli w postaci kanonicznej – ćwiczenie, 25 sierpnia 2014;
• Piotr Stachura, Wykres funkcji kwadratowej: przesuwanie i skalowanie, 27 sierpnia 2014;
• Piotr Stachura, Dopełnienie do kwadratu – postać kanoniczna funkcji kwadratowej, 25 września 2014;
• Piotr Stachura, Różne postacie funkcji kwadratowej, 17 grudnia 2014;
• Piotr Stachura, W szponach hazardu – zadanie o prawdopodobieństwie z nierównością kwadratową, 28 marca 2015;
• Piotr Stachura, Komary w Białowieży – zadanie z funkcją kwadratową , 23 kwietnia 2015;
• Piotr Stachura, Maksimum funkcji kwadratowej – przykład , 20 grudnia 2015;
• Piotr Stachura, Porównywanie własności funkcji kwadratowych, 26 marca 2017;
• Krzysztof Kwiecień, Postać iloczynowa funkcji kwadratowej – zadanie tekstowe, 14 czerwca 2018.
• Krzysztof Kwiecień, Wprowadzenie do funkcji kwadratowych zapisanych w postaci wierzchołkowej (kanonicznej), 23 czerwca 2018;