Transformacja Fouriera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym określanym na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których są funkcje n zmiennych rzeczywistych. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste'a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.

Definicje podstawowe[edytuj | edytuj kod]

Transformatę Fouriera[1] można określić dla funkcji f \in L^1(\mathbb{R}^n) (gdzie L^1(\mathbb{R}^n) jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na  \mathbb{R}^n ) wzorem:

\hat{f}(\xi) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\ e^{- 2\pi i (x, \xi)}\,dx,

gdzie i - jednostka urojona (i^{2} = -1), a (x, \xi) jest iloczynem skalarnym wektorów x, \xi \in \mathbb{R}^n. Transformacja Fouriera jest też oznaczana przez \mathcal F, wówczas transformata \hat{f}(\xi) jest oznaczana przez \mathcal F\left[f(x)\right](\xi).

Transformata \hat{f}(\xi) jest funkcją istotnie ograniczoną: \hat{f}\in L^\infty(\mathbb{R}^n) (wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue'a).

W przypadku gdy funkcja f jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli f\in L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n)), transformata \hat{f}(\xi) jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:

\mathcal F : L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n) \to L^2(\mathbb{R}^n)

Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni L^2(\mathbb{R}^n) na siebie. W wielu praktycznych zastosowaniach w przypadku jednowymiarowym przedłużenie to jest równoważne obliczeniu wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej:

\hat{f}(\xi) = \lim_{T\to+\infty} \int\limits_{-T}^T f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx

Często przestrzeń L^1(\mathbb{R}^n) ogranicza się do przestrzeni funkcji szybko malejących w nieskończoności \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) - przestrzeni funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych, dla których iloczyn dowolnej pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na \mathbb{R}^n. Ograniczona w ten sposób transformacja Fouriera jest również izometrią przestrzeni \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) na siebie.

W praktyce, często zmienna x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ  częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja f\in L^2(\mathbb{R}^1) może być zrekonstruowana z \hat f(\xi) poprzez transformację odwrotną:

f(x) = \lim_{T\to+\infty}\int\limits_{-T}^T \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi.

Alternatywne definicje[edytuj | edytuj kod]

Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.

1. Transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) \omega:

\hat{f}(\omega) =\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt

i transformacja odwrotna:

f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega,

gdzie

f(t) - funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,

\hat{f}(\omega) transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,

\omega = \frac{2\pi}{T} = {2\pi}\nu - pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji \nu.

2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) \omega:

\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt

i transformacja odwrotna:

f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega,

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Czynnik \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie - zamiast takiej postaci może występować czynnik \frac{1}{2 \pi} przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną
  • Jeżeli jednak czynnik wynosi \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni L^2(\mathbb{R})
  • Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.

Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Transformata Laplace’a.

W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem e^{ix} = \cos x + i\sin x\,, zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).

Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja 's' (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem e^{-st}\, w granicach od -\infty do \infty, gdzie s\, jest liczbą zespoloną.

\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-st}\,dt

Wyrażenie e^{-st}\, ujmuje nie tylko częstotliwości ale również rzeczywiste efekty e^{-t}\,. Transformacja 's' uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji 's'. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla s=j\omega. Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.

Własności transformaty Fouriera[edytuj | edytuj kod]

  • W przypadku jednowymiarowym funkcja f jest klasy L^{1}, czyli jest całkowalna w przedziale (-\infty,\infty).
  • \hat{f} jest funkcją ciągłą. Nie musi natomiast być całkowalna w \mathbb{R}^n.
  • Jeśli g(x) = f(x - \alpha), to \hat{g}(\xi) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\ e^{- 2 \pi i x \xi}\,dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x - \alpha)\ e^{- 2 \pi i (x - \alpha) \xi} e^{- 2 \pi i \alpha \xi}\,dx = e^{- 2 \pi i \alpha \xi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)\ e^{- 2 \pi i t \xi}\,dt = e ^{-2 \pi i \alpha \xi} \hat{f} (\xi).
  • Jeśli \alpha \neq 0 i g(t) = f\left (\frac{t}{\alpha}\right ), to \hat{g}(\xi) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\ e^{- 2 \pi i x \xi}\,dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f\left (\frac{x}{\alpha}\right )\ e^{- 2 \pi i \frac{x}{\alpha} (\alpha \xi)} \alpha \,d \left (\frac{x}{\alpha} \right ) =  \alpha \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)\ e^{- 2 \pi i t (\alpha \xi)}\,dt = \alpha \hat{f}(\alpha \xi)
  • \widehat{f*g}=\sqrt{2 \pi} \hat{f}\hat{g}, gdzie operacja * oznacza splot funkcji f i g
  • Jeśli pochodna funkcji f należy do L^{1} i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że :\hat{f^\prime}(\xi) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f^\prime (x) e^{- 2 \pi i x \xi}\,dx = f(x) e^{- 2 \pi i x \xi} \Big|_{-\infty}^{\infty}  +  2\pi i \xi \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{- 2 \pi i x \xi}\,dx  = 2\pi i \xi \hat{f} (\xi).

Właściwości transformat[edytuj | edytuj kod]

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi
 f(x)\,  \hat{f}(\xi)=

\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx

 \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx  \hat{f}(\nu)=

\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i \nu x}\, dx

101 a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\, a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\, a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\, a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\, Liniowość
102 f(x - a)\, e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\, e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\, e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\, Przesunięcie oryginału w dziedzinie "czasu"
103 e^{ 2\pi iax} f(x)\, \hat{f} \left(\xi - a\right)\, \hat{f}(\omega - 2\pi a)\, \hat{f}(\nu - 2\pi a)\, Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości , dualne względem 102
104 f(a x)\, \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\, \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\, \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\, Dla dużych wartości |a|\,, f(a x)\, zawęża się wokół zera, a \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\, poszerza się i spłaszcza.
105
106 \frac{d^n f(x)}{dx^n}\,  (2\pi i\xi)^n  \hat{f}(\xi)\,  (i\omega)^n  \hat{f}(\omega)\,  (i\nu)^n  \hat{f}(\nu)\, Transformata pochodnej
107 x^n f(x)\, \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\, i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n} i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n} Ta właściwość jest dualna względem 106
108 (f * g)(x)\, \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\, \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\, \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\, Notacja f * g oznacza splot funkcji f i g — tę właściwość określamy jako twierdzenie o splocie
109 f(x) g(x)\, (\hat{f} * \hat{g})(\xi)\, (\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, \frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\nu)\, Właściwość dualna względem 108
110 Dla funkcji f(x) rzeczywistej i parzystej \hat{f}(\omega), \hat{f}(\xi) oraz \hat{f}(\nu)\,funkcjami rzeczywistymi i parzystymi.
111 Dla funkcji f(x) rzeczywistej i nieparzystej \hat{f}(\omega), \hat{f}(\xi) oraz \hat{f}(\nu)funkcjami urojonymi i nieparzystymi.

Najbardziej przydatne pary transformat[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak L^2(\mathbb{R}) lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności \mathcal{S} (\mathbb{R}) transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

Funkcje całkowalne z kwadratem[edytuj | edytuj kod]

W tabeli zestawion jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji[2].

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi
 f(x)\,  \hat{f}(\xi)=

\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx

 \hat{f}(\omega)=

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx

 \hat{f}(\nu)=

\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx

201 \operatorname{rect}(a x) \, \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right) \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{2\pi a}\right) Funkcja prostokątna i normalizowana funkcja sinc, definiowana jako sinc(x) = sin(πx)/(πx)
202  \operatorname{sinc}(a x)\, \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right) \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2 \pi a}\right) Relacja dualna do 201. funkcja prostokątna jest filtrem dolnoprzepustowym, a funkcja sinc jest odpowiedzią impulsową dla takiego filtra.
203  \operatorname{sinc}^2 (a x)  \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right)  \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)  \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) Funkcja \operatorname{tri}(x) = \lambda (x) jest funkcją trójkątną
204  \operatorname{tri} (a x) \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \, \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) \frac{1}{|a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) Związek dualny względem 203.
205  e^{- a x} H(x) \, \frac{1}{a + 2 \pi i \xi} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)} \frac{1}{a + i \nu} H(x) jest funkcją skoku Heaviside'a, a>0.
206 e^{-\alpha x^2}\, \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}} \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{\nu^2}{4 \alpha}} Funkcja Gaussa exp(−αx2) jest funkcją własną przekształcenia Fouriera dla odpowiednio dobranego α. Funkcja jest całkowalna dla Re(α)>0.
207 \operatorname{e}^{-a|x|} \,  \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2}  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}  \frac{2a}{a^2 + \nu^2} Dla a>0.
208  \frac{J_n (x)}{x} \,  \frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi \xi)\,

  \cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}  \operatorname{rect}( \pi \xi )

 \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,

  \cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)

 \frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\nu)\,

  \cdot \ \sqrt{1 - \nu^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\nu}{2} \right)

Jn (x) oznacza funkcję Bessela n-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Un (x) to wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju. (patrz punkty 315 i 316 poniżej).
209 \operatorname{sech}(a x) \, \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right) \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right) \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right) Secans hiperboliczny jest funkcją własną transformcji Fouriera

Dystrybucje[edytuj | edytuj kod]

Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej.

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi
f(x)\,  \hat{f}(\xi)=

\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx

 \hat{f}(\omega)=

\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx

 \hat{f}(\nu)=

\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx

301 1\, \delta(\xi)\, \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega) 2\pi\delta(\nu)\, δ(ξ) oznacza deltę Diraca.
302 \delta(x)\, 1\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, 1\, Co wynika z zasady 301.
303 e^{i a x}\, \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right) \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a) 2 \pi\delta(\nu - a)\, Co wynika z własności 103 i 301.
304 \cos (a x)\, \frac{\displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2} \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\, \pi\left(\delta(\nu-a)+\delta(\nu+a)\right) Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu wzoru Eulera: \displaystyle\cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2.
305 \sin( ax)\, i\cdot\frac{\displaystyle\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)}{2} i\sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega+a)-\delta(\omega-a)}{2} i\pi\left(\delta(\nu+a)-\delta(\nu-a)\right) Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu \displaystyle\sin(a x) = (e^{i a x} - e^{-i a x})/(2i).
306 \cos ( a x^2 ) \,  \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)   \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)  \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)
307 \sin ( a x^2 ) \,  - \sqrt{\frac{\pi}{a}}  \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)   \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) -\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sin \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)
308 x^n\, \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\, i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, 2\pi i^n\delta^{(n)} (\nu)\, Gdzie, n jest liczbą naturalną a \displaystyle\delta^{(n)}(\xi) jest n-tą pochodną delty Diraca. Wynika to ze 107 i 301. Stosując tę formułę z 101 można transformować dowolne wielomiany .
309 \frac{1}{x} -i\pi\sgn(\xi)\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega) -i\pi\sgn(\nu)\, Gdzie sgn(ξ) to funkcja znaku. Zauważmy, że 1/x nie jest dystrybucją. Własność przydatna w odniesieniu do transformaty Hilberta.
310 \frac{1}{x^n} -i\pi \frac{(-2\pi i\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\xi) -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega) -i\pi \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\nu) Uogólnienie 309.
311  \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,  \frac{1}{\sqrt{|\xi|}}  \frac{1}{\sqrt{|\omega|}}  \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{|\nu|}}
312 \sgn(x)\, \frac{1}{i\pi \xi} \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\omega }\, \frac{2}{i\nu } Dualne do 309.
313 H(x)\, \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi \xi} + \delta(\xi)\right) \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right) \pi\left( \frac{1}{i \pi \nu} + \delta(\nu)\right) Funkcja H(x) jest funkcją Heaviside'a; to wynika ze 101, 301 i 312.
314 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \xi -\frac{k }{T}\right) \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right) \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \nu -\frac{2\pi k}{T}\right) Funkcja grzebieniowa. Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{inx}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x+2\pi k) jako dystrybucje.
315 \ J_0 (x)\,  \frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}}  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left( \displaystyle \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}  \frac{2\,\operatorname{rect}\left(\displaystyle\frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}} J0(x) funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
316 J_n (x)\,  \frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi \xi) \operatorname{rect}(\pi \xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}}  \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \displaystyle\frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}  \frac{2(-i)^n T_n (\nu) \operatorname{rect} \left(\displaystyle \frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}} Uogólnienie 315. Funkcja Jn(x) jest funkcją Bessela n-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Funkcja Tn(x) jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju.

Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Transmitancja widmowa.

Zależność określającą transmitancję widmową H(j\omega)\, można wyznaczyć

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie A_{we}\,, pulsacji \omega\, i fazie p_{we}\,

x(t) = A_{we} e^{j(\omega t + p_{we})},

(gdzie j oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie A_{wy}\, i fazie p_{wy}\,:

y(t) = A_{wy} e^{j(\omega t + p_{wy})}.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość \omega\, pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja H(j\omega)\, opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości \omega\,). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

\frac{A_{wy}}{A_{we}} = | H(j\omega) |\,,

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

p_{wy} - p_{we} = \arg( H(j\omega))\,.

Transmitancja H(j\omega)\,

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie

\frac{y(i)}{u(i)}=z^{-k}\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}|_{z=e^{j\omega T_p}}=K(e^{-j\omega T_p})

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]


Przypisy

  1. Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe. PWN, 1993, s. 56-60. ISBN 83-01-10864-9.
  2. Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-13-578782-3

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]