Transformacja falkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Transformacja falkowa jest przekształceniem podobnym do transformacji Fouriera. Oba przekształcenia opierają się na wykorzystaniu operacji iloczynu skalarnego badanego sygnału s(t) i pozostałej części, zwanej "jądrem przekształcenia”. Główna różnica między tymi przekształceniami to właśnie owe jądro.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Transformacja Fouriera jako jądro wykorzystuje funkcje sinusoidalne (czyli funkcje okresowe reprezentujące jedną częstotliwość). Natomiast w przypadku transformacji falkowej jądrem jest falka – specjalna funkcja ograniczona pewnymi wymogami, które musi spełniać aby można było ją wykorzystać do tak zwanej analizy wielorozdzielczej (np. musi posiadać funkcję skalującą). Takich funkcji istnieje nieskończenie wiele, zatem istnieje nieskończenie wiele transformacji falkowych. Daną transformację falkową definiuje jedna macierzysta funkcja falkowa, natomiast pod wpływem zmiany parametrów a (parametr skali) i b (parametr przesunięcia) tworzy się tzw. rodzinę falek, która jest wykorzystywana do dekompozycji naszego sygnału s(t) na składowe o różnym poziomie detali (dla poszczególnych wartości parametru a) i różnym położeniu (dla poszczególnych wartości parametru b). Rodzinę falek można porównać do efektu, jaki otrzymujemy w momencie gdy w przypadku funkcji liniowej ( y=ax+b \ ) zmieniamy parametry a i b.

Transformacja falkowa nadaje się do analizy sygnałów niestacjonarnych, ponieważ dostarcza informacji czasowo-częstotliwościowej. Często, wymiennie wykorzystuje się ją z transformacją Fouriera. Powodem tego jest fakt, iż jako wynik transformacji falkowej otrzymamy informację o częstotliwościach poszczególnych składników widmowych sygnału tylko ze skończoną precyzją. Dzieje się tak dlatego, że jądro przekształcenia (czyli funkcja) nie reprezentuje nieskończenie wąskiego przedziału częstotliwości lecz przedział częstotliwości o szerokości odwrotnie proporcjonalnej do czasu trwania falki. Transformację falkową stosuje się więc w przypadkach, gdy oprócz informacji o częstotliwościach składowych widmowych sygnału potrzebna jest informacja o ich lokalizacji w czasie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Transformacja falkowa dla sygnałów ciągłych jest przekształceniem całkowym:

\tilde{s}_{\Psi}(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} s(t) \Psi\left( \frac{t-b}{a} \right)\textrm{dt}

gdzie:

  • a – parametr skali
  • b – parametr przesunięcia
  • s(t) – sygnał badany zależny od czasu t
  • \Psi – funkcja falkowa
  • \tilde{s}_{\Psi}(a,b) – współczynnik falkowy zależny od parametrów a i b
  • \Psi\left(\frac{t-b}{a}\right) – jądro przekształcenia

Parametr skali[edytuj | edytuj kod]

Jest to parametr, który decyduje o tym jaką pseudoczęstotliwość reprezentuje falka. Przyjmuje wartości większe od zera, które są odwrotnie proporcjonalne do pseudoczęstotliwości falki, czyli wraz ze wzrostem współczynnika a pseudoczęstotliwość falki maleje a przebieg zmian jest wolniejszy. Ilustruje to rysunek poniżej.

Wspolczynnikskali.jpg

Współczynnik występujący przed całką, czyli: \frac{1}{\sqrt a} odpowiedzialny jest za normalizację falki. Na przedstawionym rysunku falka najbardziej "ściśnięta" jest najwyższa, natomiast w momencie gdy falka jest "rozciągana", zmniejsza się jej "wysokość". Proces normalizacji ma na celu utrzymanie stałej energii funkcji falkowej bez względu na skalę.

Parametr przesunięcia[edytuj | edytuj kod]

Parametr ten odpowiada za przesuwanie się funkcji falkowej wzdłuż badanego sygnału. Jak widać poniżej, wraz ze zmianą parametru b, funkcja falki jest przesuwana wzdłuż osi czasu. Należy wspomnieć, że b może przyjmować wartości " >0 " lub " <0 ".

Wspolczynnikprzesuniecia1.jpg Wspolczynnikprzesuniecia2.jpg

Wynik przekształcenia[edytuj | edytuj kod]

Wynikiem transformacji falkowej są współczynniki, których wartości są zależna od parametrów a i b oraz sygnału badanego s(t). Dla danych wartości a i b współczynnik jest miarą podobieństwa pomiędzy daną falką a wybranym fragmentem sygnału s(t). O ile wygodnie dla nas by było gdyby wartości otrzymane w wyniku analizy falkowej zawierały się w przedziale <0,1> (0 – sygnał krańcowo różny, niepodobny; 1 – sygnały identyczne), to w wyniku ciągłej transformacji falkowej (np. w pakiecie Matlab) otrzymujemy szereg współczynników, które wykraczają poza ten zakres przyjmując wartości np. z zakresu (-4 , 4).

Przykład procedury obliczania współczynnika falkowego:

Proceduraobliczania1.jpg
  • Falka przy pewnej skali a i parametrze przesunięcia b jest porównywana z sygnałem s(t), w wyniku czego uzyskujemy współczynnik falkowy równy 0,0102
Proceduraobliczania2.jpg
  • Następną operacją jest przesunięcie funkcji falkowej o parametr b, w wyniku czego zostanie ona porównana z innym fragmentem sygnału s(t).
Proceduraobliczania3.jpg
  • W momencie gdy wszystkie fragmenty sygnału zostaną porównane z daną funkcją falkową przy zadanej skali a, zostaje ona zmieniona (w naszym przypadku skala a została zwiększona). W wyniku czego uzyskujemy inne wartości współczynnika falkowego (tutaj 0,2247).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Transformacje:

Falki:

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Jan T. Białasiewicz, Falki i aproksymacje, WNT, Warszawa 2000, ISBN 83-204-2557-3
  • Przemysław Wojtaszczyk, Teoria falek, PWN, Warszawa 2000, ISBN 83-01-13322-8
  • Piotr Augustyniak, Transformacje falkowe w zastosowaniach elektrodiagnostycznych
  • Mariusz Ziółko: Modelowanie zjawisk falowych. Kraków: Wydawnictwo AGH, 2000. ISBN 83–88408–55-0. [dostęp 2013-04-18].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]