Transformata Gelfanda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Transformata Gelfanda - dla danej przemiennej algebry Banacha A przyporządkowanie

a \mapsto \hat{a},\;\;\;a\in A

dane wzorem

\hat{a}(\gamma)=\gamma(a),

gdzie \gamma jest elementem zbioru \Phi_A, tj. \gamma należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry A o wartościach w ciele liczb zespolonych[1]. W zbiorze \Phi_A wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór \Phi_A z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry A). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra A ma jedynkę[2]. Otoczenia bazowe danego punktu \gamma_0 z przestrzeni Gelfanda są postaci

U_{F}=\{\gamma\in \Phi_A\colon |\gamma(a)-\gamma_0(a)|<1,\;a\in F\},

gdzie F jest skończonym podzbiorem A. Zbiór

A_\Gamma = \{a\in A\colon\, \hat{a}=0\}

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry A. Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry A oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci ab - ba, gdzie a i b są elementami algebry A.

Transformata Gelfanda

\hat{\,\cdot\,}\colon A\to C(\Phi_A)

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Przypisy

  1. Zbiór ten jest kanonicznie tożsamy zbiorowi ideałów maksymalnych tej algebry. Każdemu homomorfizmowi wystarczy przyporządkować jego jądro.Гамелин Т. (Gamelin T.): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973, s. 13-14. (ros.)
  2. Przestrzenie Gelfanda pewnych funkcyjnych algebr Banacha są homeomorficzne z przestrzeniami, na których te algebry Banacha są określone. Jeśli C(X) jest algebrą Banacha ciągłych funkcji zespolonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa X z normą supremum, to jej przestrzeń Gelfanda jest homeomorficzna z X. Gamelin, op. cit., s. 16

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
  • Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303-318.
  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
  • Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.)