Transformata Gelfanda

Transformata Gelfanda - dla danej przemiennej algebry Banacha A przyporządkowanie

$a \mapsto \hat{a},\;\;\;a\in A$

dane wzorem

$\hat{a}(\gamma)=\gamma(a)$,

gdzie $\gamma$ jest elementem zbioru $\Phi_A$, tj. $\gamma$ należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry A o wartościach w ciele liczb zespolonych. W zbiorze $\Phi_A$ wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór $\Phi_A$ z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry A). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra A ma jedynkę. Otoczenia bazowe danego punktu $\gamma_0$ z przestrzeni Gelfanda są postaci

$U_{F}=\{\gamma\in \Phi_A\colon |\gamma(a)-\gamma_0(a)|<1,\;a\in F\}$,

gdzie F jest skończonym podzbiorem A. Zbiór

$A_\Gamma = \{a\in A\colon\, \hat{a}=0\}$

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry A. Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry A oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci ab - ba, gdzie a i b są elementami algebry A.

Transformata Gelfanda

$\hat{\,\cdot\,}\colon A\to C(\Phi_A)$

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Bibliografia

• H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303-318.
• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
• Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.)