Transformata Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Transformata Hilberta  \widehat g(t)\, funkcji g(t)\, oraz transformatę odwrotną definiujemy następującymi wzorami:

\widehat{g}(t) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{g(\tau)}{t - \tau}\,d\tau\,
g(t) = -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\widehat g(\tau)}{t - \tau}\,d\tau\,

Jest to splot funkcji g(t)\, z funkcją h(t) = \frac{1}{\pi t}\,.

Transformata Fouriera funkcji h(t) wynosi

H(\omega) = \mathcal{F}\{h\}(\omega) = -j \cdot sgn(\omega) = 
\begin{cases}
+j & \mbox{dla } \omega < 0 \\
0 & \mbox{dla } \omega = 0 \\
-j & \mbox{dla } \omega > 0
\end{cases}

gdzie j\, oznacza jednostkę urojoną.

Na podstawie zasady, że splotowi funkcji odpowiada mnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta \widehat s(t)\, różni się od widma "oryginalnego" sygnału s(t)\, jedynie tym, że dodatnia połówka ulega wymnożeniu przez +j\,, a ujemna przez -j\,. Mnożenie widma przez \pm j\, oznacza przesunięcie fazy o \pm90°, przy zachowaniu niezmienionej amplitudy.

\widehat G(\omega) = 
\mathcal{F}\{h\}(\omega) \cdot \mathcal{F}\{g\}(\omega) = 
-j \cdot sgn(\omega) \cdot G(\omega) = 
\begin{cases}
+j \cdot G(\omega) & \mbox{dla } \omega < 0 \\
0 & \mbox{dla } \omega = 0 \\
-j \cdot G(\omega) & \mbox{dla } \omega > 0
\end{cases}

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

  1. Transformata jest przekształceniem liniowym
  2. Sygnał g(t) i jego transformata Hilberta mają to samo widmo amplitudowe.
  3. Dwukrotnie transformując sygnał g(t) otrzymamy -g(t).
  4. Sygnał g(t) i jego transformata są ortogonalne.

Wybrane pary transformat Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Sygnał
u(t)\,
transformata Hilberta
\widehat u(t)\,
\sin(t)\, -\cos(t)\,
\cos(t)\, \sin(t)\,
1 \over t^2 + 1 t \over t^2 + 1
funkcja sinc
\sin(t) \over t
 1- \cos(t)\over t
sygnał prostokątny
  \sqcap(t)
{1 \over \pi} \ln \left | {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}} \right |
Delta Diraca
\delta(t) \,
 {1 \over \pi t}
Funkcja charakterystyczna zbioru
\chi_{[a,b]}(x) \,
\frac{1}{\pi}\log \left \vert \frac{x-a}{x-b}\right \vert \,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]