Transformata Radona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Niech f\,(x_1,\, ...,\, x_n) będzie ciągłą i wystarczająco szybko malejącą w nieskończoności funkcją zmiennych rzeczywistych x_i \in \mathbb{R} dla i = 1,\, ...,\, n.


Dla dowolnej hiperpłaszczyzny w \mathbb{R}^n


\Gamma = \{(x_1, \dots, x_n): \xi_1 {x_1} + \dots + \xi_n {x_n} = C\},


gdzie \xi_i \in \mathbb{R}, i = 1, \dots, n i \sum\limits_{i = 1}^{n} \alpha_i^2 > 0, C \in \mathbb{R}

definiowana jest całka

F(\xi_1, \dots, \xi_n, C) = \frac{1}{(\sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2)^{1/2}} \int\limits_{\Gamma}f(x_1, \dots, x_n) dV_{\Gamma}

gdzie  V_{\Gamma} jest (n - 1)-wymiarową objętością na hiperpowierzchni Γ. Funkcję

F(\xi_1, \dots, \xi_n, C), (\xi_1, \dots, \xi_n, C) \in \mathbb{R}^{n + 1} 

nazywamy transformatą Radona lub przekształceniem Radona funkcji f.

Transformatę Radona zdefiniował austriacki matematyk Johann Radon w 1917 roku [1].

Transformata Radona jest funkcją jednorodną stopnia -1:

F(\alpha \xi_1, \dots, \alpha \xi_n, \alpha C) = \frac{1}{|\alpha|} F(\xi_1, \dots, \xi_n, C).

Związek z transformatą Fouriera  \widehat{f}(\xi_1, ..., \xi_n) funkcji f:

F(\xi_1, \dots, \xi_n, C) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} {\widehat{f}(\alpha \xi_1, \dots, \alpha \xi_n)} e^{-i \alpha C} d\alpha.


Przypisy

  1. Johann Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten. „Ber. Verh. Säche. Akad. Wiss.”. 69, s. 262-277, 1917. Leipzig. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Sigurdur Helgason: Groups and Geometric Analysis. Integral Geometry, Invariant Differential Operators and Spherical Functions. Academic Press, 1984.
  2. Sigurdur Helgason: The Radon transform. Boston, Basel, Stuttgart: Birkhäuser, 1980.