Translacja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Translacja przesuwa każdy punkt figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku.

Translacja, przesunięcieprzekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez deformacji i obracania.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbf v będzie dowolnym wektorem (swobodnym) pewnej przestrzeni afinicznej \mathbf V.

Translacją T_v nazywamy przekształcenie dane wzorem:

T_\mathbf v(x) = x + \mathbf v.

Wektor \mathbf v nazywamy wektorem translacji.

Niekiedy także obraz figury A w przekształceniu T_v nazywa się translacją figury A o wektor \mathbf v i oznacza A + \mathbf v.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \mathbf v = \mathbf 0, to translacja T jest przekształceniem tożsamościowym; jeśli zaś \mathbf v \ne \mathbf 0, to T nie ma żadnego punktu stałego.

Translacje wraz ze składaniem tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną. Jest więc izomorficzna z grupą wektorów swobodnych.

Translacja w przestrzeniach euklidesowych[1] jest izometrią, nie zmienia zatem kształtu figury ani żadnej relacji wewnętrznej między jej elementami, natomiast zmienia jej położenie w stosunku do pozostałych (nie podlegających translacji) figur.

Ważną własnością grupy translacji w przestrzeniach euklidesowych jest to, że dla dowolnej translacji T\, i dowolnej izometrii G\, przekształcenie GTG^{-1}\, też jest translacją. W języku teorii grup oznacza to, że grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii. Ponadto Iloraz grupy izometrii przez podgrupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną.

Niezmiennikiem definiującym grupę translacji jest długość i zwrot wektora.

Wśród wielu niezmienników izometrii najważniejszymi niezmiennikami translacji są:

Każda translacja prostej jest złożeniem dwóch symetrii punktowych, translacja na płaszczyźnie jest złożeniem pewnych dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, analogicznie translacja w przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach.

Każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych (w przestrzeniach dowolnego wymiaru).

Przypisy

  1. tj. w przestrzeniach afinicznych stowarzyszonych z przestrzenią liniowa wyposażoną w iloczyn skalarny