Trysekcja kąta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta \varphi kąt o mierze \tfrac{1}{3} \varphi jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian

4x^3-3x-\cos \varphi

jest rozkładalny w ciele \mathbb{Q}(\cos \varphi).

Konstrukcja Archimedesa[edytuj | edytuj kod]

Trysekcja.svg

Rezygnując z wymogu użycia tylko cyrkla i liniału można dokonać trysekcji kąta ostrego wykorzystując konstrukcję Archimedesa. Używa się do niej cyrkla i liniału z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y. Najpierw należy nakreślić okrąg o środku O (gdzie O – wierzchołek kąta) i promieniu r = |XY|. Punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta oznaczyć jako A i B. Następnie poprowadzić prostą OA oraz prostą l za pomocą linijki tak, aby jeden z zaznaczonych na niej punktów X należał do prostej OA, zaś drugi – punkt Y do okręgu i tak by prosta l przechodziła przez punkt B. Wówczas proste OA i l przetną się pod kątem {\alpha \over 3}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. PWN, 1978.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]