Trysekcja kąta

Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i linijki. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta $\varphi$ kąt o mierze $\tfrac{1}{3} \varphi$ jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian

$4x^3-3x-\cos \varphi$

jest rozkładalny w ciele $\mathbb{Q}(\cos \varphi)$.

Konstrukcja Archimedesa

Rezygnując z wymogu użycia tylko cyrkla i linijki można dokonać trysekcji kąta ostrego wykorzystując konstrukcję Archimedesa. Używa się do niej cyrkla i linijki z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y. Najpierw należy nakreślić okrąg o środku O (gdzie O - wierzchołek kąta) i promieniu $r = |XY|$. Punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta oznaczyć jako A i B. Następnie poprowadzić prostą OA oraz prostą $l$ za pomocą linijki tak, aby jeden z zaznaczonych na niej punktów X należał do prostej OA, zaś drugi - punkt Y do okręgu i tak by prosta $l$ przechodziła przez punkt B. Wówczas proste OA i $l$ przetną się pod kątem ${\alpha \over 3}$.

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. PWN, 1978.

• Agnieszka Nawrot Sabak: Encyklopedia Matematyka. Kraków: GREG, 2008, s. 245. ISBN 978-83-7517-015-3.

Linki zewnętrzne

• (ang.) John J O'Connor; Edmund F. Robertson Trysekcja kąta w MacTutor History of Mathematics archive