Twierdzenie Arzeli-Ascolego

Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez Giulio Ascolego, na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą/topologią zbieżności jednostajnej.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego

$y'=f(x,y)$

gdy o funkcji $f$ nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peana).

Pojęcia wstępne

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami topologicznymi. Symbol $C(X,Y)$ oznacza przestrzeń funkcji ciągłych określonych na $X$ i o wartościach w $Y.$

• Gdy $X$ jest przestrzenią zwartą, a $Y$ jest przestrzenią Banacha to $C(X,Y)$ jest przestrzenią Banacha z normą supremum.

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $Y$ będzie przestrzenią unormowaną. Mówi się, że rodzina ${\mathcal {F}}\subseteq C(X,Y)$ jest

• wspólnie ograniczona, gdy dla pewnego $M>0$ i dla każdego $f\in {\mathcal {F}}$

$\|f\|_{Y}\leqslant M,$

• jednakowo ciągła (albo równociągła), gdy dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje takie $\delta >0,$ że dla wszelkich $x,y\in X$ oraz każdego $f\in {\mathcal {F}}$

$d(x,y)<\delta \Rightarrow \|f(x)-f(y)\|_{Y}<\varepsilon ,$

• punktowo relatywnie zwarta, gdy dla każdego $x\in X$ domknięcie zbioru

$\{f(x)\colon \,f\in {\mathcal {F}}\}$ jest zbiorem zwartym.

Twierdzenie

Wersja klasyczna

Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascolego mówi, że

• Jeżeli $(f_{n})$ jest ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale zwartym, który jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły (tzn. rodzina $\{f_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}$ jest jednakowo ciągła), to zawiera on podciąg zbieżny jednostajnie.

Założenie jednakowej ciągłości jest istotne – istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych $f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,$ który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech

$f_{n}(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+(1-nx)^{2}}}$

dla $0\leqslant x\leqslant 1$ oraz $n\in \mathbb {N} .$ Licznik i mianownik wyrażenia $f_{n}$ są nieujemne, skąd $|f_{n}(x)|\leqslant 1$ (wspólna ograniczoność na [0,1]). Ponadto,

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0$

dla każdego $x\in [0,1],$ ale

$f_{n}\left({\tfrac {1}{n}}\right)=1$

dla $n=1,2,3\dots ,$ więc żaden podciąg ciągu $(f_{n})$ nie jest zbieżny jednostajnie.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiącego, że

• Jeżeli $(f_{n})$ jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej $X,$ to $\{f_{n}\colon \in \mathbb {N} \}$ jest rodziną jednakowo ciągłą.

Istotnie, niech $\varepsilon >0$ będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna $N$ taka, że

$\|f_{n}-f_{N}\|_{C(X,Y)}<\varepsilon$ dla $n>N.$

Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciągła (zob. twierdzenie Diniego), więc istnieje liczba $\delta >0$ taka, że

$|f_{i}(x)-f_{i}(y)|<\varepsilon$

dla $1\leqslant i\leqslant N,\;x,y\in X,\;d(x,y)<\delta .$ Gdy $d(x,y)<\delta$ oraz $n>N,$ to

$|f_{n}(x)-f_{n}(y)|\leqslant |f_{n}(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)-f_{N}(y)|+|f_{N}(y)-f_{n}(y)|<\varepsilon +\varepsilon +\varepsilon =3\varepsilon ,$

co kończy dowód.

Wersja ogólna

Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz $Y$ będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Ascolego można sformułować w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na to by podzbiór przestrzeni $C(X,Y)$ był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej:

• Rodzina ${\mathcal {F}}\subseteq C(X,Y)$ jest zwarta w sensie topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathcal {F}}$ jest jednakowo ciągła, punktowo relatywnie zwarta i domknięta.

Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascolego ponieważ w przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią zwartą, a $Y$ przestrzenią metryczną (lub ogólniej przestrzenią jednostajną), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w $C(X,Y).$

Uogólnienia

Poniżej znajdują się twierdzenia topologii ogólnej, które w literaturze topologicznej również noszą nazwy twierdzeń Ascolego:

• Jeżeli $X$ jest $k$-przestrzenią, a $Y$ jest przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór $F$ przestrzeni $Y^{X}$ z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $F$ jest rodziną jednakowo ciągła (elementami przestrzeni $Y^{X}$ są funkcje $X\to Y$) i dla każdego $x\in X$ zbiór $\{f(x)\colon f\in F\}\subseteq Y$ ma zwarte domknięcie.
• Jeżeli $X$ jest $k$-przestrzenią, a $Y$ przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór $F$ przestrzeni $Y^{X}$ z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru zwartego $Z\subseteq X$ przekształcenia rodziny $F|Z=\{f|Z\colon \,f\in Z\}$ są jednakowo ciągłe i dla każdego $x\in X$ zbiór $\{f(x)\colon f\in F\}\subseteq Y$ ma zwarte domknięcie.

Kelley i Morse udowodnili powyższe twierdzenia w przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią lokalnie zwartą. Sformułowane wyżej uogólnienia na $k$-przestrzenie podali w roku 1966 Bagley i Young.

Twierdzenie Ascolego-Arzeli dla multifunkcji

W roku 1976 Pedro Morales i Goeffrey Fox uogólnili twierdzenie Ascolego-Arzeli (-Morse’a-Kelleya) na przestrzenie multifunkcji. W celu sformułowania tego wyniku potrzebne są następujące definicje:

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem oraz $Y$ będzie przestrzenią topologiczną.

• Multifunkcja $f\colon X\rightsquigarrow Y$ nayzwana jest punktowo zwartą, gdy dla każdego $x\in X$ zbiór $fx$ jest zwarty. Symbolem $(Y^{mX})_{0}$ oznacza się rodzinę wszystkich punktowo zwartych multifunkcji z $m$-produktu $Y^{mX}.$
• Jeśli $F\subseteq Y^{mX}$ (zob. $m$-produkt) oraz $x\in X,$ to symbolem $F[x]$ oznacza się zbiór

$F[x]=\bigcup _{f\in F}fx.$

• Zbiór $F\subseteq Y^{mX}$ nazywany jest punktowo ograniczonym, gdy dla każdego $x\in X$ domknięcie w przestrzeni $Y$ zbioru $F[x]$ jest zbiorem zwartym.
• Zbiór $W\subseteq Y^{mX}$ nazywany jest zbiorem Tichonowa, gdy dla każdego punktowo ograniczonego zbioru $F\subseteq Y^{mX}$ zwarty jest zbiór (w sensie topologii w $m$-produkcie):

$W\cap \{{\mbox{cl}}_{Y}F[x]\colon \,x\in X\}.$

• Niech dalej $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Multifunkcję $f\colon X\rightsquigarrow Y$ nazywamy ciągłą z dołu (ciągłą z góry) gdy dla każdego zbioru otwartego $U\subseteq Y$ zbiór $f^{-}(U)$ $(f^{+}(U))$ jest otwarty w $X.$ Multufunkcje ciągłe jednocześnie z dołu i z góry nazywane są ciągłymi.
• Zbiór $F\subseteq Y^{mX}$ nazywany równociągłym, gdy dla każdego $x\in X,$ dla każdego zwartego podzbioru $K$ przestrzeni $Y$ oraz dla każdego otoczenia otwartego $V$ zbioru $K$ istnieje otoczenie $U\subseteq X$ punktu $X$ oraz otoczenie $W\subseteq Y$ zbioru $K$ takie że
  • $f\in F,\,fx\cap W\neq \varnothing \Rightarrow U\subseteq f^{-}(V),$
  • $f\in F\,fx\subseteq W\Rightarrow U\subseteq f^{+}(W).$