Twierdzenie Arzeli-Ascolego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez Giulio Ascolego[1], na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą / topologią zbieżności jednostajnej.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego

y^\prime=f(x, y)

gdy o funkcji f nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peano).

Pojęcia wstępne[edytuj | edytuj kod]

Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Symbol C(X, Y) oznacza przestrzeń funkcji ciągłych określonych na X i o wartościach w Y.

Niech X będzie przestrzenią metryczną oraz Y będzie przestrzenią unormowaną. Mówi się, że rodzina \mathcal{F}\subseteq C(X,Y) jest

  • wspólnie ograniczona, gdy dla pewnego M > 0 i dla każdego f\in \mathcal{F}
\|f\|_Y \leqslant M,
  • jednakowo ciągła (albo równociągła), gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla wszelkich x, yX oraz każdego f\in \mathcal{F}
d(x,y)<\delta\Rightarrow \|f(x)-f(y)\|_Y<\varepsilon,
  • punktowo relatywnie zwarta, gdy dla każdego xX domknięcie zbioru
\{f(x)\colon\, f\in \mathcal{F}\} jest zbiorem zwartym.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Wersja klasyczna[edytuj | edytuj kod]

Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascolego mówi, że

  • Jeżeli (f_n) jest ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale zwartym, który jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły (tzn. rodzina \{f_n\colon\, n\in \mathbb{N}\} jest jednakowo ciągła), to zawiera on podciąg zbieżny jednostajnie.

Założenie jednakowej ciągłości jest istotne - istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych f_n\colon [0,1]\to\mathbb{R} , który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech

f_n(x)=\frac{x^2}{x^2+(1-nx)^2}

dla 0 \leqslant x \leqslant 1 oraz n\in \mathbb{N}. Licznik i mianownik wyrażenia f_n są nieujemne, skąd |f_n(x)| \leqslant 1 (wspólna ograniczoność na [0,1]). Ponadto,

\lim_{n\to \infty}f_n(x)=0

dla każdego x\in [0,1], ale

f_n\left(\tfrac{1}{n}\right)=1

dla n=1,2,3..., więc żaden podciąg ciągu (f_n) nie jest zbieżny jednostajnie.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiącego, że

  • Jeżeli (f_n) jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej X, to \{f_n\colon \in \mathbb{N}\} jest rodziną jednakowo ciągłą.

Istotnie, niech \varepsilon>0 będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna N taka, że

\|f_n-f_N\|_{C(X,Y)}<\varepsilon dla n>N.

Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciągła (zob. twierdzenie Diniego), więc istnieje liczba \delta>0 taka, że

|f_i(x)-f_i(y)|<\varepsilon

dla 1 \leqslant i \leqslant N,\; x, y\in X,\; d(x, y) < \delta. Gdy d(x, y) < \delta oraz n > N, to

|f_n(x)-f_n(y)|\leq |f_n(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(y)|+|f_N(y)-f_n(y)|<\varepsilon+\varepsilon+\varepsilon=3\varepsilon,

co kończy dowód.

Wersja ogólna[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz Y będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Asoliego można sformułować w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na to by podzbiór przestrzeni C(X,Y) był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej:

  • Rodzina \mathcal{F}\subseteq C(X,Y) jest zwarta w sensie topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy \mathcal{F} jest jednakowo ciągła, punktowo relatywnie zwarta i domknięta.

Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascolego ponieważ w przypadku, gdy X jest przestrzenią zwartą, a Y przestrzenią metryczną (lub ogólniej przestrzenią jednostajną), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w C(X,Y).

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Poniżej znajdują się twierdzenia topologii ogólnej, które w literaturze topologicznej również noszą nazwy twierdzeń Ascolego:

  • Jeżeli X jest k-przestrzenią, a Y jest przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór F przestrzeni Y^X z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy F jest rodziną jednakowo ciągła (elementami przestrzeni Y^X są funkcje X\to Y) i dla każdego x\in X zbiór \{f(x)\colon f\in F\}\subseteq Y ma zwarte domknięcie.
  • Jeżeli X jest k-przestrzenią, a Y przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór F przestrzeni Y^X z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru zwartego Z\subseteq X przekształcenia rodziny F|Z=\{f|Z\colon\, f\in Z\} są jednakowo ciągłe i dla każdego x\in X zbiór \{f(x)\colon f\in F\}\subseteq Y ma zwarte domknięcie.

Kelley i Morse udowodnili powyższe twierdzenia w przypadku, gdy X jest przestrzenią lokalnie zwartą. Sformułowane wyżej uogólnienia na k-przestrzenie podali w roku 1966 Bagley i Young[2].

Twierdzenie Ascolego-Arzeli dla multifunkcji[edytuj | edytuj kod]

W roku 1976 Pedro Morales i Goeffrey Fox uogólnili twierdzenie Ascolego-Arzeli (-Morse'a-Kelley'a) na przestrzenie multifunkcji. W celu sformułowania tego wyniku potrzebne są następujące definicje:

Niech X będzie niepustym zbiorem oraz Y będzie przestrzenią topologiczną.

  • Multifunkcja f\colon X \rightsquigarrow Y nayzwana jest punktowo zwartą, gdy dla każdego x\in X zbiór fx jest zwarty. Symbolem (Y^{mX})_0 oznacza się rodzinę wszystkich punktowo zwartych multifunkcji z m-produktu Y^{mX}.
  • Jeśli F\subseteq Y^{mX} (zob. m-produkt) oraz x\in X, to symbolem F[x] oznacza się zbiór
F[x]=\bigcup_{f\in F}fx.
  • Zbiór F\subseteq Y^{mX} nazywany jest punktowo ograniczonym, gdy dla każdego x\in X domknięcie w przestrzeni Y zbioru F[x] jest zbiorem zwartym.
  • Zbiór W\subseteq Y^{mX} nazywany jest zbiorem Tichonowa, gdy dla każdego punktowo ograniczonego zbioru F\subseteq Y^{mX} zwarty jest zbiór (w sensie topologii w m-produkcie):
W\cap \{\mbox{cl}_YF[x]\colon\, x\in X\}.
  • Niech dalej X będzie przestrzenią topologiczną. Multifunkcję f\colon X \rightsquigarrow Y nazywamy ciągłą z dołu (ciągłą z góry) gdy dla każdego zbioru otwartego U\subseteq Y zbiór f^-(U) (f^+(U)) jest otwarty w X. Multufunkcje ciągłe jednocześnie z dołu i z góry nazywane są ciągłymi.
  • Zbiór F\subseteq Y^{mX} nazywany równociągłym, gdy dla każdego x\in X, dla każdego zwartego podzbioru K przestrzeni Y oraz dla każdego otoczenia otwartego V zbioru K istnieje otoczenie U\subseteq X punktu X oraz otoczenie W\subseteq Y zbioru K takie że
    • f\in F,\, fx\cap W\neq \varnothing \Rightarrow U\subseteq f^-(V),
    • f\in F\, fx\subseteq W \Rightarrow U\subseteq f^+(W).

Przypisy

  1. Giulio Ascoli. Le curve limiti di una varietà data di curve. „Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.”, s. 521–586, 1883–1884. 
  2. R. W. Bagley, J. S. Yang, On k-spaces and function spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 703–705.