Twierdzenie Bézouta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Bézoutatwierdzenie algebraiczne mówiące, iż pojęcie pierwiastka wielomianu odpowiada wprost pojęciu miejsca zerowego odpowiadającej mu funkcji wielomianowej. Polska nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Étienne'a Bézouta, choć twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian nie zostało przez niego sformułowane ani udowodnione i było znane już wcześniej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathrm p(x) będzie wielomianem zmiennej x, zaś p(x) oznacza funkcję wielomianową odpowiadającą temu wielomianowi.

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu \mathrm p, tzn. dwumian x - a dzieli bez reszty wielomian \mathrm p, wtedy i tylko wtedy, gdy a jest miejscem zerowym funkcji wielomianowej p, czyli p(a) = 0.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dostateczność

Jeśli \mathrm p dzieli się przez \mathrm d(x) = x - a bez reszty, to istnieje taki wielomian \mathrm q, że \mathrm p = \mathrm{qd}. Wartość funkcji p = qd w punkcie a wynosi

p(a) = q(a) d(a) = q(a) \cdot 0 = 0,

zatem a jest miejscem zerowym funkcji p.

Konieczność

Wielomian \mathrm p daje w dzieleniu przez dwumian \mathrm d(x) = x - a resztę r stopnia co najwyżej 0, w związku z tym można oznaczyć \mathrm r(x) = r. Oznacza to, że

\mathrm p = \mathrm{qd} + r.

Skoro p(a) = 0, to

p(a) = q(a) d(a) + r = q(a) \cdot 0 + r = 0,

a więc musi być r = 0, zatem

\mathrm p = \mathrm{qd},

czyli dwumian \mathrm d dzieli bez reszty wielomian \mathrm p, tzn. \mathrm d jest pierwiastkiem \mathrm p.

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Wartość p(a) funkcji wielomianowej p(x) w punkcie a jest równa reszcie z dzielenia wielomianu \mathrm p(x) przez dwumian x - a.

Istotnie: dowód sugeruje, że jeżeli r jest resztą z dzielenia \mathrm p(x) przez x - a, tzn. istnieje taki wielomian \mathrm q(x), że

\mathrm p(x) = \mathrm q(x) (x - a) + r,

to p(a) = r.

Przykład

Wielomian \mathrm f(x) = x^3 - 12x^2 - 42 w dzieleniu przez x - 3 daje wielomian \mathrm g(x) = x^2 - 9x - 27 i resztę r = -123. Z powyższego wniosku wynika, że f(3) = -123, gdyż

\mathrm f(x) = (x^2 - 9x - 27) (x - 3) - 123.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]