Twierdzenie Baire'a

Twierdzenie Baire'a - w przestrzeni zupełnej X przeliczalna suma

$E\ =\ F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_k \cup \cdots$

domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym (a więc, m.in. nie może wypełniać całej przestrzeni).

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej $<X,d>$ każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech A będzie zbiorem I kategorii, czyli $A=\bigcup\limits_n A_{n}$ gdzie $A_{n}$ jest nigdziegęsty dla dowolnego $n \in \mathbb{N}$. Pokażemy, że $A$ jest brzegowy, czyli $\overline{X\backslash A}=X$. Niech $K_{0}$ będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że $K_{0}\cap(X\backslash A)\not=\emptyset$. Skoro $A_{1}$ jest nigdziegęsty, to istnieje kula $K_{1}\subset K_{0}$, że $K_{1} \cap A_{1} = \emptyset$. Możemy przyjąć, że $K_{1}$ jest kulą domkniętą oraz δ$(K_{1})<1$ (gdzie δ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli $K_{1}$ znajdziemy kulę domkniętą $K_{2}$, że $K_{2} \cap A_{2} =\emptyset$ i δ$(K_{2})<\frac {1}{2}$. Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych $\{K\}_{n}$ taki, że: dla dowolnego $n \in \mathbb{N}$ mamy: $K_{n} \cap A_{n} =\emptyset$ , $K_{n+1} \subset K_{n}$ , δ$(K_{n})< \frac {1}{n}$. Z twierdzenia Cantora, mamy: $\bigcap\limits_n K_{n} \not= \emptyset$. Zatem: $\emptyset \not= \bigcap\limits_n K_{n} \subset \bigcap\limits_n (X\backslash A_{n})= X\backslash \bigcup\limits_n A_{n} = X\backslash A$ oraz: $\bigcap\limits_n K_{n} \subset K_{0}$ więc: $\bigcap\limits_n K_{n} \subset K_{0}\cap (X\backslash A) \not= \emptyset$.

Zastosowania

Twierdzenie Baire'a ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, jak: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenie o wykresie domkniętym, twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Z twierdzenia Baire'a wynika także fakt, że każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych

Stefan Banach użył twierdzenia Baire'a do dowodu istnienia funkcji ciągłych na odcinku [0,1], które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedziny. Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest I kategorii, tj. jest topologicznie mały.

Dowód. Niech C[0,1] oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku [0,1] z normą supremum. Ponadto, niech dla wszelkich liczb naturalnych k ≥ 1 dany będzie zbiór

$N_k = \big\{ f \in C[0,1]\colon\, \exists {x \in [0,1]} \ \forall {h \neq 0} \ \left| \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right| \leqslant k \big\}$.

Zbiory N_k (k jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech (f_n) będzie ciągiem funkcji ze zbioru N_k zbieżnym do pewnej funkcji f ∈ C[0,1]. Niech x_n będzie punktem dla którego funkcja f_n spełnia warunek w definicji zbioru N_k oraz niech x₀ będzie punktem skupienia ciągu (x_n) (punkt taki istnieje, co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka [0,1]). Wówczas funkcja graniczna f spełnia warunek określający zbiór N_k w punkcie x₀, tj. f ∈ N_k, co dowodzi domkniętości.

Niech A będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresami są łamane). Zbiór ten jest gęsty w C[0,1]. Ponadto każdą funkcję ze zbioru A, można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru N_k. Wynika stąd, iż

$C[0,1] = \overline{A} \subseteq \overline{C[0,1]\setminus N_k}\;\;(k\in\mathbb{N}),$,

co, w szczególności, implikuje, że każdy ze zbiorów N_k ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory N_k są brzegowe.

Każdy ze zbiorów N_k jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire'a wynika, że

$\bigcup_{k=1}^{\infty} N_k \neq C[0,1]$.

Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru N_k, a zatem zbiór funkcji ciągłych na [0,1] które mają pochodną w choć jednym punkcie jest pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku [0,1] bez pochodnych w żadnym punkcie. □

Zobacz też

• Przestrzeń Baire'a
• Zbiór nigdziegęsty
• Zbiór pierwszej kategorii
• Własność Baire'a
• Twierdzenie Banacha-Steinhausa