Twierdzenie Baire'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Baire'a - w przestrzeni zupełnej X przeliczalna suma

E\ =\ F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_k \cup \cdots

domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym (a więc, m.in. nie może wypełniać całej przestrzeni).

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej <X,d> każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech A będzie zbiorem I kategorii, czyli A=\bigcup\limits_n A_{n} gdzie A_{n} jest nigdziegęsty dla dowolnego n \in \mathbb{N}. Pokażemy, że A jest brzegowy, czyli \overline{X\backslash A}=X. Niech K_{0} będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że K_{0}\cap(X\backslash A)\not=\emptyset. Skoro A_{1} jest nigdziegęsty, to istnieje kula K_{1}\subset K_{0}, że K_{1} \cap A_{1} = \emptyset. Możemy przyjąć, że K_{1} jest kulą domkniętą oraz δ(K_{1})<1 (gdzie δ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli K_{1} znajdziemy kulę domkniętą K_{2}, że K_{2} \cap A_{2} =\emptyset i δ(K_{2})<\frac {1}{2}. Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych \{K\}_{n} taki, że: dla dowolnego n \in \mathbb{N} mamy: K_{n} \cap A_{n} =\emptyset , K_{n+1} \subset K_{n} , δ(K_{n})< \frac {1}{n} . Z twierdzenia Cantora, mamy: \bigcap\limits_n K_{n} \not= \emptyset . Zatem: \emptyset \not= \bigcap\limits_n K_{n} \subset \bigcap\limits_n (X\backslash A_{n})= X\backslash \bigcup\limits_n A_{n} = X\backslash A  oraz:  \bigcap\limits_n K_{n} \subset K_{0} więc:  \bigcap\limits_n K_{n} \subset K_{0}\cap (X\backslash A) \not= \emptyset .

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Baire'a ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, jak: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenie o wykresie domkniętym, twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Z twierdzenia Baire'a wynika także fakt, że każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych[edytuj | edytuj kod]

Stefan Banach użył twierdzenia Baire'a do dowodu istnienia funkcji ciągłych na odcinku [0,1], które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedziny[1]. Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest I kategorii, tj. jest topologicznie mały.

Dowód. Niech C[0,1] oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku [0,1] z normą supremum. Ponadto, niech dla wszelkich liczb naturalnych k ≥ 1 dany będzie zbiór

N_k = \big\{ f \in C[0,1]\colon\, \exists {x \in [0,1]} \ \forall {h \neq 0} \ \left| \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right| \leqslant k \big\}.

Zbiory Nk (k jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech (fn) będzie ciągiem funkcji ze zbioru Nk zbieżnym do pewnej funkcji fC[0,1]. Niech xn będzie punktem dla którego funkcja fn spełnia warunek w definicji zbioru Nk oraz niech x0 będzie punktem skupienia ciągu (xn) (punkt taki istnieje, co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka [0,1]). Wówczas funkcja graniczna f spełnia warunek określający zbiór Nk w punkcie x0, tj. fNk, co dowodzi domkniętości.

Niech A będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresamiłamane). Zbiór ten jest gęsty w C[0,1]. Ponadto każdą funkcję ze zbioru A, można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru Nk. Wynika stąd, iż

C[0,1] = \overline{A} \subseteq \overline{C[0,1]\setminus N_k}\;\;(k\in\mathbb{N}),,

co, w szczególności, implikuje, że każdy ze zbiorów Nk ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory Nk są brzegowe.

Każdy ze zbiorów Nk jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire'a wynika, że

\bigcup_{k=1}^{\infty} N_k \neq C[0,1].

Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru Nk, a zatem zbiór funkcji ciągłych na [0,1] które mają pochodną w choć jednym punkcie jest pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku [0,1] bez pochodnych w żadnym punkcie. □

Przypisy

  1. S. Banach, Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 3 (1931), 174–179.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]