Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Banacha o kontrakcji (lub o punkcie stałym, nazywane też niekiedy Banacha zasadą kontrakcji) głosi, że dowolna kontrakcja przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, jest on granicą ciągu iteracji danej kontrakcji, zaczynającego się w dowolnym punkcie przestrzeni.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli (X,\rho) jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś f\colon X\to X jest kontrakcją, to:

Szkic dowodu[edytuj | edytuj kod]

Jednoznaczność punktu stałego jest dość oczywista: niech bowiem \alpha\in(0,1) będzie stałą Lipschitza kontrakcji f, a x_1, x_2 jej punktami stałymi. Mamy wówczas

\rho(x_1,x_2)=\rho(f(x_1),f(x_2))\leqslant\alpha \rho(x_1,x_2),

co przy \alpha mniejszym od jedności zachodzi tylko gdy \rho(x_1,x_2)=0, co z definicji metryki oznacza, że x_1=x_2, a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.

Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt x \in X i oszacujmy odległość \rho(f^n(x),f^m(x)) między wartością n-tej i m-tej iteracji kontrakcji f dla punktu x (korzystając przy tym (|m-n|-1)-krotnie z nierówności trójkąta. Można wykazać, iż ciąg (x,f(x),f(f(x)),\dots) jest ciągiem Cauchy'ego, a zatem ma granicę (bo X jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji f, że jego granica jest punktem stałym przekształcenia f.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Banacha, mimo swej prostoty, ma liczne i ważne zastosowania. Można np. przy jego pomocy wykazać twierdzenie o funkcji odwrotnej, istnienie atraktora układu przekształceń zwężających, czy zbieżności niektórych algorytmów numerycznych (zob. np. metoda Gaussa-Seidla); jest ono też wykorzystywane m.in. w teorii równań całkowych i różniczkowych. Żartobliwym jego zastosowaniem (i ilustracją) jest obserwacja, że gdy położymy mapę Polski na ziemi gdzieś w Polsce, to dokładnie jeden punkt na mapie pokrywa się z odpowiadającym mu punktem na ziemi.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Stosunkowo łatwo wykazać, że w twierdzeniu Banacha nie można opuścić ani założenia zupełności, ani osłabić warunku kontrakcji, zastępując go warunkiem

\rho_Y(f(x_1),f(x_2))<\rho_X(x_1,x_2)

(ani tym bardziej założeniem, że f jest nierozszerzające). Istotnie, odwzorowanie x\mapsto\frac{1}{2}x jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni (0,1) w siebie, pozbawioną punktów stałych; nietrudno też zauważyć, że funkcja x\mapsto x+\frac{1}{x}\colon [1,+\infty)\to[1,+\infty) zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego. (Okazuje się jednak, że jeśli założymy, że X jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego.)

Mimo powyższych kontrprzykładów, istnieje szereg twierdzeń, które uogólniają twierdzenie Banacha. Często zastępuje się w nich warunek kontraktywności warunkiem typu

{\rho_Y(f(x_1),f(x_2))}\leqslant\varphi(\rho_X(x_1,x_2)),

gdzie \varphi jest funkcją odwzorowującą zbiór [0,+\infty) w siebie, mającą pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne.

Twierdzenia odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Bessagi[edytuj | edytuj kod]

Jeśli f\colon X\to X jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze X, że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to X można zmetryzować w sposób zupełny tak, by f było kontrakcją względem tej metryki (i to o dowolnej, z góry zadanej stałej kontrakcji z przedziału (0,1)).

Twierdzenie Meyersa[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\rho) będzie zupełną przestrzenią metryczną, a f\colon X\to X odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

  1. f(x_0)=x_0 dla pewnego x_0\in X,
  2. \lim_{n\to\infty} f^n(x)=x_0 dla każdego x\in X,
  3. istnieje takie otoczenie U punktu x_0, że dla dowolnego otoczenia V tego punktu istnieje taki indeks n_V, że F^n(V)\subset U dla n\geqslant n_V.

Wówczas dla dowolnej stałej \alpha\in(0,1) istnieje równoważna z \rho metryka zupełna na X, przy której fjest kontrakcją ze stałą \alpha.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]