Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Twierdzenie Banacha o kontrakcji (lub o punkcie stałym, nazywane też niekiedy Banacha zasadą kontrakcji) głosi, że dowolna kontrakcja przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, jest on granicą ciągu iteracji danej kontrakcji, zaczynającego się w dowolnym punkcie przestrzeni.

Sformułowanie

Jeśli $(X,\rho)$ jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś $f\colon X\to X$ jest kontrakcją, to:

• odwzorowanie $f$ ma dokładnie jeden punkt stały $x_0$ oraz
• dla dowolnego $x\in X$ ciąg $(x,f(x),f(f(x)),\dots)$ jest zbieżny do $x_0$.

Szkic dowodu

Jednoznaczność punktu stałego jest dość oczywista: niech bowiem $\alpha\in(0,1)$ będzie stałą Lipschitza kontrakcji $f$, a $x_1$, $x_2$ jej punktami stałymi. Mamy wówczas

$\rho(x_1,x_2)=\rho(f(x_1),f(x_2))\leqslant\alpha \rho(x_1,x_2)$,

co przy $\alpha$ mniejszym od jedności zachodzi tylko gdy $\rho(x_1,x_2)=0$, co z definicji metryki oznacza, że $x_1=x_2$, a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.

Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt $x \in X$ i oszacujmy odległość $\rho(f^n(x),f^m(x))$ między wartością $n$-tej i $m$-tej iteracji kontrakcji $f$ dla punktu $x$ (korzystając przy tym $(|m-n|-1)$-krotnie z nierówności trójkąta. Można wykazać, iż ciąg $(x,f(x),f(f(x)),\dots)$ jest ciągiem Cauchy'ego, a zatem ma granicę (bo $X$ jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji $f$, że jego granica jest punktem stałym przekształcenia $f$.

Zastosowania

Twierdzenie Banacha, mimo swej prostoty, ma liczne i ważne zastosowania. Można np. przy jego pomocy wykazać twierdzenie o funkcji odwrotnej, istnienie atraktora układu przekształceń zwężających, czy zbieżności niektórych algorytmów numerycznych (zob. np. metoda Gaussa-Seidla); jest ono też wykorzystywane m.in. w teorii równań całkowych i różniczkowych. Żartobliwym jego zastosowaniem (i ilustracją) jest obserwacja, że gdy położymy mapę Polski na ziemi gdzieś w Polsce, to dokładnie jeden punkt na mapie pokrywa się z odpowiadającym mu punktem na ziemi.

Uogólnienia

Stosunkowo łatwo wykazać, że w twierdzeniu Banacha nie można opuścić ani założenia zupełności, ani osłabić warunku kontrakcji, zastępując go warunkiem

$\rho_Y(f(x_1),f(x_2))<\rho_X(x_1,x_2)$

(ani tym bardziej założeniem, że $f$ jest nierozszerzające). Istotnie, odwzorowanie $x\mapsto\frac{1}{2}x$ jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni $(0,1)$ w siebie, pozbawioną punktów stałych; nietrudno też zauważyć, że funkcja $x\mapsto x+\frac{1}{x}\colon [1,+\infty)\to[1,+\infty)$ zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego. (Okazuje się jednak, że jeśli założymy, że $X$ jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego.)

Mimo powyższych kontrprzykładów, istnieje szereg twierdzeń, które uogólniają twierdzenie Banacha. Często zastępuje się w nich warunek kontraktywności warunkiem typu

${\rho_Y(f(x_1),f(x_2))}\leqslant\varphi(\rho_X(x_1,x_2))$,

gdzie $\varphi$ jest funkcją odwzorowującą zbiór $[0,+\infty)$ w siebie, mającą pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne.

Twierdzenia odwrotne

Twierdzenie Bessagi

Jeśli $f\colon X\to X$ jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze $X$, że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to $X$ można zmetryzować w sposób zupełny tak, by $f$ było kontrakcją względem tej metryki (i to o dowolnej, z góry zadanej stałej kontrakcji z przedziału $(0,1)$).

Twierdzenie Meyersa

Niech $(X,\rho)$ będzie zupełną przestrzenią metryczną, a $f\colon X\to X$ odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

1. $f(x_0)=x_0$ dla pewnego $x_0\in X$,
2. $\lim_{n\to\infty} f^n(x)=x_0$ dla każdego $x\in X$,
3. istnieje takie otoczenie $U$ punktu $x_0$, że dla dowolnego otoczenia $V$ tego punktu istnieje taki indeks $n_V$, że $F^n(V)\subset U$ dla $n\geqslant n_V$.

Wówczas dla dowolnej stałej $\alpha\in(0,1)$ istnieje równoważna z $\rho$ metryka zupełna na $X$, przy której $f$jest kontrakcją ze stałą $\alpha$.

Zobacz też

• Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
• William A. Kirk, Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
• Teoria punktu stałego