Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Twierdzenie Banacha o kontrakcji, o punkcie stałym, zasada Banacha – twierdzenie topologii i teorii punktu stałego, dotyczące zupełnych przestrzeni metrycznych. Mówi ono, że dowolna kontrakcja takiej przestrzeni ma dokładnie jeden punkt stały. Do treści tego twierdzenia włącza się też konstruktywny dowód pierwszego faktu – do punktu stałego zbiega dowolny ciąg wartości iteracji danej kontrakcji, zaczynający się w dowolnym miejscu.

Ilustracją twierdzenia bywa obrazowa konsekwencja: gdy mapę Polski rozłoży się gdziekolwiek na ziemi w Polsce, to dokładnie jeden punkt powierzchni gruntu leży pod swoim obrazem.

Twierdzenie to opublikował Stefan Banach w 1922 roku w czasopiśmie „Fundamenta Mathematicae”, w kontekście przestrzeni Banacha. Znalazło zastosowanie w analizie matematycznej, m.in. w badaniach równań różniczkowych, całkowych i analizie numerycznej. Udowodniono też:

• uogólnienia – analogiczne własności szerszych klas funkcji;
• odwrócenia – pewne własności funkcji zdefiniowane punktami stałymi pociągają za sobą kontrakcyjność.

Treść

Jeśli $(X,\rho )$ jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś $f\colon X\to X$ jest kontrakcją, to:

• odwzorowanie $f$ ma dokładnie jeden punkt stały $x_{0}$ oraz
• dla dowolnego $x\in X$ ciąg $(x,f(x),f(f(x)),\dots )$ jest zbieżny do $x_{0}.$

Dowód

• Najłatwiej wykazać jednoznaczność punktu stałego: niech bowiem $\alpha \in (0,1)$ będzie stałą Lipschitza kontrakcji $f,$ a $x_{1},$ $x_{2}$ jej punktami stałymi. Mamy wówczas

$\rho (x_{1},x_{2})=\rho (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant \alpha \rho (x_{1},x_{2}),$

$(1-\alpha )\rho (x_{1},x_{2})\leqslant 0,$

$\rho (x_{1},x_{2})\leqslant 0.$

W ostatnim kroku skorzystano z ograniczeń na stałą $\alpha ,$ implikujących $1-\alpha >0.$ Finalna nierówność zachodzi tylko dla $\rho (x_{1},x_{2})=0,$ co z definicji metryki oznacza, że $x_{1}=x_{2},$ a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.

• Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt $x\in X$ i oszacujmy odległość $\rho (f^{n}(x),f^{m}(x))$ między wartością $n$-tej i $m$-tej iteracji kontrakcji $f$ dla punktu $x$ (korzystając przy tym $(|m-n|-1)$-krotnie z nierówności trójkąta). Można wykazać, iż ciąg $(x,f(x),f(f(x)),\dots )$ jest ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę (bo $X$ jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji $f,$ że jego granica jest punktem stałym przekształcenia $f.\blacksquare$

Powstały też co najmniej cztery inne dowody tego twierdzenia, w tym jeden niekonstruktywny.

Zastosowania

Za pomocą tego twierdzenia można wykazać:

• twierdzenie o funkcji uwikłanej,
• twierdzenie o funkcji odwrotnej,
• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa,
• istnienie atraktora układu przekształceń zwężających,
• zbieżności niektórych algorytmów numerycznych; zob. np. metoda Gaussa-Seidla.

Wykorzystuje się je też m.in. w teorii równań różniczkowych i całkowych.

Uogólnienia

• W twierdzeniu nie można opuścić założenia zupełności. Istotnie, odwzorowanie $x\mapsto {\frac {1}{2}}x$ jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni $(0,1)$ w siebie, pozbawioną punktów stałych.

• Nie można też osłabić warunku kontrakcji, zastępując go zmniejszaniem odległości:

$\rho (f(x_{1}),f(x_{2}))<\rho (x_{1},x_{2}).$ Funkcja $x\mapsto x+{\frac {1}{x}}\colon [1,+\infty )\to [1,+\infty )$ zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego.

• Mimo to jeśli przestrzeń $X$ jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego.

Twierdzenie zachodzi też dla funkcji:

• z kontraktywną iteracją naturalną;
• spełnianiających nierówności typu

$\rho (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant \varphi (\rho (x_{1},x_{2})),$

gdzie $\varphi$ jest przekształceniem przedziału $[0,+\infty )$ w siebie, mającym pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne.

Twierdzenia odwrotne

Twierdzenie Bessagi

Jeśli $f\colon X\to X$ jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze $X,$ że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to $X$ można zmetryzować w sposób zupełny tak, by $f$ było kontrakcją względem tej metryki. Stałą kontrakcji może być dowolna liczba z przedziału $(0,1),$ zadana z góry.

Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; wykazał je Czesław Bessaga w 1958 roku.

Twierdzenie Meyersa

Niech $(X,\rho )$ będzie zupełną przestrzenią metryczną, a $f\colon X\to X$ odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

1. $f(x_{0})=x_{0}$ dla pewnego $x_{0}\in X,$
2. $\lim _{n\to \infty }f^{n}(x)=x_{0}$ dla każdego $x\in X,$
3. istnieje takie otoczenie $U$ punktu $x_{0},$ że dla dowolnego otoczenia $V$ tego punktu istnieje taki indeks $n_{V},$ że $F^{n}(V)\subset U$ dla $n\geqslant n_{V}.$

Wówczas dla dowolnej stałej $\alpha \in (0,1)$ istnieje równoważna z $\rho$ metryka zupełna na $X,$ przy której $f$ jest kontrakcją ze stałą $\alpha$.

Bibliografia

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Wariacje na temat Zasady Banacha, Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach, smp.uph.edu.pl, 2008 [dostęp 2023-08-26] .
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. 1972, seria: Biblioteka Matematyczna.

Literatura dodatkowa

• Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
• William A. Kirk, Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Banach Fixed Point Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-24].
• Contracting-mapping principle (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].