Twierdzenie Berry-Essena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Berry-Essena pozwala na szacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Zauważmy, że centralne twierdzenie graniczne (dla przypadku jednakowych zmiennych losowych) w istocie mówi, że \mathbb P\left(\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{\sigma\sqrt n}\leqslant t\right)\longrightarrow\phi(t) przy n\to\infty. Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona z n-em. Odpowiedzi dostarcza nierówność Berry-Essena i to w formie nieco ogólniejszej. Jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech X_1,X_2,\ldots X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi, \mathbb EX_i=0, \sum_{i=1}^n Var(X_i)=1 oraz \forall_i \mathbb E|X_i|^3<\infty. Wówczas istnieje stała L\in\mathbb R taka, że \sup_t|\mathbb P(\sum_{i=1}^n X_i\leqslant t)-\phi(t)|\leqslant L\sum_{i=1}^n \mathbb E|X_i|^3.

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Można jako wniosek przedstawić nieco inne sformułowanie twierdzenia, dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych. Niech X,X_1,X_2,\ldots X_n będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej \sigma^2 oraz takimi, że \mathbb E|X|^3<\infty. Wówczas

\sup_t|\mathbb P(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sigma\sqrt n}\leqslant t)-\phi(t)|\leqslant L\sum_{i=1}^n \frac{\mathbb E|X_i|^3}{\sqrt n}

Dowód wniosku[edytuj | edytuj kod]

Niech \tilde{X_i}=\frac{X_i}{\sigma\sqrt n}, wówczas \sum_{i=1}^n\mathbb E\tilde{X_i}^2=1. Wówczas zmienne \tilde{X_i} spełniają założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż \sum_{i=1}^n\mathbb E|\tilde{X_i}|^3=\frac{1}{\sigma^3 n^{\frac{3}{2}}} n\mathbb E|X|^3=\frac{\mathbb E|X|^3}{\sigma^3\sqrt n}.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Stała L jest szacowana z coraz większą dokładnością, poczynając od L=0.7975 (von Beek, 1972[1]), przez L=0.7655 (Shiganov, 1986 [2]), L=0.7056 (Shevtsova, 2007[3]), L=0.5129 (Shevtsova, 2008[4]), aż do L=0.6379 w przypadku ogólnym oraz L=0.5894 dla sumy zmiennych o takich samych rozkładach (Tyurin, 2009[5]).

Oszacowanie jest asymptotycznie dobre, istnieje przykład pokazujący, że stała L z twierdzenia musi spełniać nierówność L\geqslant\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0.4.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ prawdziwość twierdzenia Berry-Essena ze stałą L implikuje prawdziwość wniosku dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych ze stałą L to dla wskazania kontrprzykładu dla pewnej stałej wystarczy wskazać kontrprzykład dla tej stałej dla wniosku.

Niech X,X_1,X_2,\ldots,X_n będą jednakowymi, niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że \mathbb P(X=\pm 1)=\frac{1}{2}. Wówczas \sigma^2=1\!. Niech n=2k,k\in\mathbb Z.

Wówczas \mathbb P(\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt n}\leqslant 0)-\phi(0)=\frac{1+\mathbb P(X_1+\ldots+X_n=0)}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathbb P(X_1+\ldots+X_n=0)=\frac{1}{2}2^{-2k}\binom{2k}{k}.

Ze wzoru Stirlinga wiemy, że n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n (1+O(\frac{1}{n})). Zatem 2^{-2k}\binom{2k}{k}=2^{-2k}\frac{(2k)!}{(k!)^2}=2^{-2k}\frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n}\frac{(\frac{2k}{e})^{2k}}{(\frac{k}{e})^{2k}} (1+O(\frac{1}{n}))=\frac{1}{\sqrt{nk}}(1+O(\frac{1}{n})).

Dostajemy zatem \mathbb P(\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt n}\leqslant 0)-\phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}(1+O(\frac{1}{n})), czyli mamy dolne oszacowanie na L równe \frac{1}{2\pi}.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. P. van Beek, An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry–Esseen inequality, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 1972
  2. I.S. Shiganov, Refinement of the upper bound of a constant in the remainder term of the central limit theorem, Journal of Soviet mathematics, 1986
  3. I. G. Shevtsova, Sharpening of the upper bound of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality, Theory of Probability and its Applications, 2007
  4. I. G. Shevtsova, On the absolute constant in the Berry-Esseen inequality, The Collection of Papers of Young Scientists of the Faculty of Computational Mathematics and CyberneticsTheory of Probability and its Applications 2008
  5. I.S. Tyurin, On the accuracy of the Gaussian approximation, Doklady Mathematics 2009