Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta: Wartość dowolnego wielomianu $f(x)$ obliczona dla dowolnej wartości $x=r$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu $f(x)$ przez dwumian $(x-r)$. W szczególnym wypadku, gdy $f(r)=0$, to wielomian jest podzielny przez $(x-r)$, zaś $r$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Przykłady

(1) Wielomian $f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$

nie jest podzielny przez $x-3$, gdyż $f(3)=-123\neq 0$; de facto w dzieleniu tego wielomianu przez $x-3$ otrzymuje się trójmian $g(x)=x^{2}-9x-27$ i resztę $r=f(3)=-123$.

(2) Wielomian $f(x)=x^{5}-2x^{4}+x^{3}-3x^{2}+x+2$

jest podzielny przez $x-2$, gdyż $f(2)=0$.

Twierdzenie Bézouta - ogólne sformułowanie

Niech ${\mathcal {R}}$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką.

Tw. Element $r\in {\mathcal {R}}$ jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu $f(x)\in {\mathcal {R}}[x]$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian $S(x)\in {\mathcal {R}}[x],$ że $f(x)=(x-r)S(x).$ Ponadto stopień wielomianu $S(x)$ jest o jeden niższy niż stopień wielomianu$f(x)$, tj. $\deg S(x)=\deg f(x)-1$.

Dowód:

Niech wielomian ma postać

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

Różnica dwóch k-tych potęg dana jest znanym wzorem:

$x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).$

Niech $S_{k}=x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}$oznacza większy czynnik z prawej strony powyższej równości. Wtedy

$f(x)-f(r)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}),$

(ponieważ $S_{1}=1$). Wtedy

$f(x)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1})+f(r).$

Ponieważ $S(x)=a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}$ jest wielomianem stopnia n-1 (gdyż np. $S_{n}=x^{n-1}+x^{n-2}r+\dots +xr^{n-2}+r^{n-1}$ jest wielomianem stopnia n-1), to otrzymujemy tezę twierdzenia, cnd.

Równość Bézouta

Wartość wielomianu $f(x)$ w punkcie $r$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu $f(x)$ przez dwumian $x-r,$ co wynika z ostatniej równości dowodu. Równość tę nazywa się równością Bézouta.

Zobacz też

• schemat Hornera

Linki zewnętrzne

Twierdzenie Bézouta - przykłady