Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym języku oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte.

Twierdzenie to było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzano, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Twierdzenie to jak i wiele innych zalicza się do tzw. matematycznego folkloru, co oznacza, że jest powszechne znane wśród matematyków i przy korzystaniu z niego nie uznaje się za zasadne powoływanie na jakiekolwiek źródła. Niemniej znaleźć je można m.in w [1], [2], czy [3].

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Z każdego ograniczonego ciągu liczbowego można wybrać podciąg zbieżny.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że (c_n)_{n=0}^\infty jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych (a więc dla pewnych a<b mamy że a<c_n<b dla każdego n). Wówczas można wybrać rosnący ciąg indeksów n_0,n_1,n_2,n_3,\ldots, n_k tak, że ciąg \big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty jest zbieżny.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że (c_n)_{n=0}^\infty jest ciągiem liczb rzeczywistych, a<b oraz a<c_n<b dla wszystkich n. Indukcyjnie wybieramy liczby a_k,b_k\in [a,b] oraz liczby naturalne n_k, tak że dla każdego k mamy

  • n_0=0, a_0=a, b_0=b,
  • n_k<n_{k+1}, a_k\leqslant a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}\leqslant b_k,
  • b_k-a_k=(b-a)\cdot 2^{-k},
  • zbiór \{n:c_n\in [a_k,b_k]\} jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje n_0, a_0,b_0. Przypuśćmy że wybraliśmy już n_k, a_k,b_k tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech d=\frac{a_k+b_k}{2}. Jeśli zbiór \{n:c_n\in [a_k,d]\} jest nieskończony, to połóżmy a_{k+1}=a_k, b_{k+1}=d i wybierzmy n_{k+1}>n_k tak że a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}. Jeśli zbiór \{n:c_n\in [a_k,d]\} jest skończony, to wtedy zbiór \{n:c_n\in [d,b_k]\} musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że a_{k+1}=d, b_{k+1}=b_k i wybieramy n_{k+1}>n_k tak że a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}.

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg \big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty jest ciągiem Cauchy'ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

Nieco inny dowód[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że (c_n)_{n=0}^\infty jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech L=\inf\{c_n:n\}, R=\sup\{c_n:n\}, M=(R+L)/2 i niech \Delta=[L,R]. Niech teraz \Delta_{\epsilon}=[L_{\epsilon},R_{\epsilon}] będzie rodziną podprzedziałów przedziału \Delta indeksowaną skończonymi ciągami zerojedynkowymi określoną wzorami:

\Delta_{\langle0\rangle}=[L,M], \Delta_{\langle1\rangle}=[M,R] oraz \Delta_{\epsilon\langle0\rangle} =[L_{\epsilon},M_{\epsilon}] i \Delta_{\epsilon\langle1\rangle} =[M_{\epsilon},R_{\epsilon}]

gdzie M_{\epsilon}=(L_{\epsilon}+R_{\epsilon})/2.


Konstrukcja rodziny przedziałów


Łatwo zauważyć, że długość przedziału \Delta_{\epsilon} równa jest (R-L)/2^n, gdzie n jest długością ciągu {\epsilon} oraz dla dowolnych dwóch \epsilon', \epsilon''

\Delta_{\epsilon''}\subseteq\Delta_{\epsilon'} wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg \epsilon' jest początkiem ciągu \epsilon''.

Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów (\epsilon_n)_n, dla którego każdy z przedziałów \tilde{\Delta}_n=\Delta_{\epsilon_n}, n\in N zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu (c_n)_{n}.

Niech teraz n_0=0 oraz n_{k+1}=\min\{m>n_k: c_m\in\tilde{\Delta}_{k}\}. Wówczas (n_k)_k jest ściśle rosnący oraz c_{n_k}\in\tilde{\Delta}_{k}. Pokażemy, że ciąg c_{n_k} jest zbieżny do L^\star=\sup \{\tilde{L}_n:n\in N\}, gdzie \tilde{L}_n=L_{\epsilon_n}.

Niech zatem \varepsilon>0 i niech N będzie takie, że 1/2^N<\varepsilon/2 oraz niech K będzie takie, że L^\star-\varepsilon/2<\tilde{L}_K\le L^\star. Biorąc teraz k\ge\max\{N,K\} mamy:


|c_{n_k}-L^\star|<|c_{n_k}-\tilde{L}_k|+|\tilde{L}_k-L^\star| =
|c_{n_k}-\tilde{L}_k|+(L^\star-\tilde{L}_k) \le 1/2^k + (L^\star-\tilde{L}_K) <\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu (c_{n_k})_k do L^\star.

Jeszcze nieco inny dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech (c_n)_n będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech L=\inf\{c_n:n\}, R=\sup\{c_n:n\} i niech d=(R-L)/2.

Niech dalej M_0=(L+R)/2 oraz niech M_{k+1}=M_k-d/2^{k+1} jeśli zbiór \{n: M_k-d/2^k\le c_n\le M_k\} jest nieskończony oraz M_{k+1}=M_k+d/2^{k+1} w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały \Delta_k=[M_k-d/2^{k},M_k+d/2^{k}] zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu (c_n)_n. Ponieważ dla k=0, mamy \Delta_0=[M_0-d,M_0+d]=[L,R], baza indukcji jest prawdziwa. Załóżmy zatem, że dla pewnego k przedział \Delta_k=[M_k-d/2^{k},M_k+d/2^{k}] zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu (c_n)_n. Jeśli zbiór \{n: M_k-d/2^k\le c_n\le M_k\} jest nieskończony, to M_{k+1}=M_k-d/2^{k+1} i wówczas \Delta_{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_k-d/2^k,M_k], czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu. Jeśli zbiór \{n: M_k-d/2^k\le c_n\le M_k\} nieskończony nie jest, to musi być nieskończony \{n: M_k\le c_n\le M_k+d/2^k\}, na mocy założenia indukcyjnego i wówczas M_{k+1}=M_k+d/2^{k+1} oraz \Delta_{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_k,M_k+d/2^k], co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

Niech teraz m_0=0 i niech m_{k+1}=\min\{n>m_k: c_n\in\Delta_{k+1}\}. (c_{m_n})_n jest podciągiem ciągu (c_{n})_n. Ciąg L_n=M_n-d/2^n jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum L^\star. Pokażemy, że L^\star=\lim_{n\to\infty}c_{m_n}.

Niech w tym celu \varepsilon>0 i niech N będzie takie, że 1/2^N<\varepsilon/2 oraz niech K będzie takie, że L^\star-\varepsilon/2<{L}_K\le L^\star. Biorąc teraz n\ge\max\{N,K\} mamy:


|c_{m_n}-L^\star|<|c_{m_n}-{L}_n|+|{L}_n-L^\star| = (c_{m_n}-{L}_n)+(L^\star-{L}_n) \le 1/2^n + (L^\star-{L}_K) <\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu (c_{m_n})_n do L^\star.

Zauważmy, że L^\star jest także granicą ciągów (M_{n})_n oraz R_n=M_n+d/2^n.

Wniosek: twierdzenie Weierstrassa[edytuj | edytuj kod]

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli f: [a,b] \to \mathbb R jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja f osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb c,d\in [a,b] mamy

\forall x \in [a,b]\quad f(d) \leqslant f(x) \leqslant f(c).

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Pokażemy najpierw, że obraz funkcji f jest ograniczony. Ponieważ każdy z przedziałów funkcji (-M,M), dla M\in\mathbb R, jest zbiorem otwartym, a f jest ciągła, to otwarte (w zbiorze [a,b]) są zbiory f^{-1}[ (-M,M) ]. Rodzina \{f^{-1}[(-M,M)]:M\in\mathbb R\} pokrywa przedział [a,b], więc ze zwartości tego ostatniego, istnieją M_1,\dots,M_s>0, dla których [a,b]=f^{-1}[(-M_1,M_1)]\cup\dots\cup f^{-1}[(-M_s,M_s)]. Wówczas, jak łatwo widać, dla dowolnego x\in[a,b] mamy -M\le f(x)\le M, gdzie M=\max\{M_1,\dots,M_S\}, co oznacza, że f jest funkcją ograniczoną.

Oznaczmy kres górny obrazu f przez \tilde{d}. \tilde{d}\in\mathbb R i istnieje ciąg (d_n)_{n=0}^\infty punktów przedziału [a,b] dla których ciąg f(d_n) jest zbieżny do \tilde{d}. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg (d_{n_k})_{k=0}^\infty ciągu (d_{n})_{n=0}^\infty zbieżny do pewnej granicy {d}. Wtedy na mocy ciągłości funkcji f otrzymujemy f({d}) = \lim_{k \to \infty} f(d_{n_k}) = \tilde{d}. A więc wartość funkcji f w punkcie {d}\in [a,b] jest kresem górnym obrazu f (a więc także f(x)\leqslant f(d) dla wszystkich x\in [a,b]).

W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby {c}, dla której f({c})=\inf\{f(x):a\le x\le b\}.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka [a,b]) jest istotne. Na przykład funkcja  f: (0,1]\ni x \mapsto 1/x \in\mathbb{R} jest ciągła ale nie jest ograniczona. Podobnie  f: \mathbb{R}\ni x \mapsto e^x\in \mathbb{R} nie jest ograniczona, mimo że dziedzina - cała prosta - jest domknięta.


Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa jest także bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.

Przypisy

  1. Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1973
  2. G. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1972
  3. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1976