Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa

Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym ujęciu oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte. Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz z równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.

Twierdzenie było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzana, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Twierdzenie

Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych $(c_{n})_{n=0}^{\infty }$ można wybrać podciąg zbieżny, tzn. można wybrać rosnący ciąg indeksów $n_{0},n_{1},n_{2},n_{3},\dots ,n_{k}$ tak, że ciąg $(c_{n_{k}})_{k=0}^{\infty }$ jest zbieżny.

Dowód 1.

Załóżmy, że $(c_{n})_{n=0}^{\infty }$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, $a<b$ oraz $a<c_{n}<b$ dla wszystkich $n.$ Indukcyjnie wybieramy liczby $a_{k},b_{k}\in [a,b]$ oraz liczby naturalne $n_{k},$ tak że dla każdego $k$ mamy

• $n_{0}=0,$ $a_{0}=a,$ $b_{0}=b,$
• $n_{k}<n_{k+1},$ $a_{k}\leqslant a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}\leqslant b_{k},$
• $b_{k}-a_{k}=(b-a)\cdot 2^{-k},$
• zbiór $\{n:c_{n}\in [a_{k},b_{k}]\}$ jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje $n_{0},a_{0},b_{0}.$ Przypuśćmy, że wybraliśmy już $n_{k},a_{k},b_{k}$ tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech $d={\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}.$ Jeśli zbiór $\{n:c_{n}\in [a_{k},d]\}$ jest nieskończony, to połóżmy $a_{k+1}=a_{k},$ $b_{k+1}=d$ i wybierzmy $n_{k+1}>n_{k}$ tak że $a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}.$ Jeśli zbiór $\{n:c_{n}\in [a_{k},d]\}$ jest skończony, to wtedy zbiór $\{n:c_{n}\in [d,b_{k}]\}$ musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy, że $a_{k+1}=d,$ $b_{k+1}=b_{k}$ i wybieramy $n_{k+1}>n_{k}$ tak że $a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}.$

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy, że ciąg $(c_{n_{k}})_{k=0}^{\infty }$ jest ciągiem Cauchy’ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

Dowód 2.

Załóżmy, że $(c_{n})_{n=0}^{\infty }$ jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech $L=\inf\{c_{n}:n\},$ $R=\sup\{c_{n}:n\},$ $M=(R+L)/2$ i niech $\Delta =[L,R].$

Niech teraz $\Delta _{\epsilon }=[L_{\epsilon },R_{\epsilon }]$ będzie rodziną podprzedziałów przedziału $\Delta$ indeksowaną skończonymi ciągami zero-jedynkowymi określoną wzorami:

$\Delta _{\langle 0\rangle }=[L,M],\Delta _{\langle 1\rangle }=[M,R]$ oraz $\Delta _{\epsilon \langle 0\rangle }=[L_{\epsilon },M_{\epsilon }]$ i $\Delta _{\epsilon \langle 1\rangle }=[M_{\epsilon },R_{\epsilon }],$

gdzie $M_{\epsilon }=(L_{\epsilon }+R_{\epsilon })/2.$

Łatwo zauważyć, że długość przedziału $\Delta _{\epsilon }$ równa jest $(R-L)/2^{n},$ gdzie $n$ jest długością ciągu $\epsilon$ oraz dla dowolnych dwóch $\epsilon ',$ $\epsilon ''$

$\Delta _{\epsilon ''}\subseteq \Delta _{\epsilon '}$

wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $\epsilon '$ jest początkiem ciągu $\epsilon ''.$

Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów $(\epsilon _{n})_{n},$ dla którego każdy z przedziałów ${\tilde {\Delta }}_{n}=\Delta _{\epsilon _{n}},$ $n\in N$ zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $(c_{n})_{n}.$

Niech teraz $n_{0}=0$ oraz $n_{k+1}=\min\{m>n_{k}:c_{m}\in {\tilde {\Delta }}_{k}\}.$ Wówczas $(n_{k})_{k}$ jest ściśle rosnący oraz $c_{n_{k}}\in {\tilde {\Delta }}_{k}.$

Pokażemy, że ciąg $c_{n_{k}}$ jest zbieżny do $L^{\star }=\sup\{{\tilde {L}}_{n}:n\in N\},$ gdzie ${\tilde {L}}_{n}=L_{\epsilon _{n}}.$

Niech zatem $\varepsilon >0$ i niech $N$ będzie takie, że $1/2^{N}<\varepsilon /2$ oraz niech $K$ będzie takie, że $L^{\star }-\varepsilon /2<{\tilde {L}}_{K}\leqslant L^{\star }.$

Biorąc teraz $k\geqslant \max\{N,K\}$ mamy:

$|c_{n_{k}}-L^{\star }|<|c_{n_{k}}-{\tilde {L}}_{k}|+|{\tilde {L}}_{k}-L^{\star }|=|c_{n_{k}}-{\tilde {L}}_{k}|+(L^{\star }-{\tilde {L}}_{k})\leqslant 1/2^{k}+(L^{\star }-{\tilde {L}}_{K})<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon$

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu $(c_{n_{k}})_{k}$ do $L^{\star }.$

Dowód 3.

Niech $(c_{n})_{n}$ będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech $L=\inf\{c_{n}:n\},$ $R=\sup\{c_{n}:n\}$ i niech $d=(R-L)/2.$

Niech dalej $M_{0}=(L+R)/2$ oraz niech $M_{k+1}=M_{k}-d/2^{k+1}$ jeśli zbiór $\{n:M_{k}-d/2^{k}\leqslant c_{n}\leqslant M_{k}\}$ jest nieskończony oraz $M_{k+1}=M_{k}+d/2^{k+1}$ w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały $\Delta _{k}=[M_{k}-d/2^{k},M_{k}+d/2^{k}]$ zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu $(c_{n})_{n}.$

Ponieważ dla $k=0,$ mamy $\Delta _{0}=[M_{0}-d,M_{0}+d]=[L,R],$ baza indukcji jest prawdziwa.

Załóżmy zatem, że dla pewnego $k$ przedział $\Delta _{k}=[M_{k}-d/2^{k},M_{k}+d/2^{k}]$ zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu $(c_{n})_{n}.$ Jeśli zbiór $\{n:M_{k}-d/2^{k}\leqslant c_{n}\leqslant M_{k}\}$ jest nieskończony, to $M_{k+1}=M_{k}-d/2^{k+1}$ i wówczas $\Delta _{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_{k}-d/2^{k},M_{k}],$ czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu.

Jeśli zbiór $\{n:M_{k}-d/2^{k}\leqslant c_{n}\leqslant M_{k}\}$ nieskończony nie jest, to musi być nieskończony $\{n:M_{k}\leqslant c_{n}\leqslant M_{k}+d/2^{k}\},$ na mocy założenia indukcyjnego i wówczas $M_{k+1}=M_{k}+d/2^{k+1}$ oraz $\Delta _{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_{k},M_{k}+d/2^{k}],$ co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

Niech teraz $m_{0}=0$ i niech $m_{k+1}=\min\{n>m_{k}:c_{n}\in \Delta _{k+1}\}.$ $(c_{m_{n}})_{n}$ jest podciągiem ciągu $(c_{n})_{n}.$ Ciąg $L_{n}=M_{n}-d/2^{n}$ jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum $L^{\star }.$ Pokażemy, że $L^{\star }=\lim _{n\to \infty }c_{m_{n}}.$

Niech w tym celu $\varepsilon >0$ i niech $N$ będzie takie, że $1/2^{N}<\varepsilon /2$ oraz niech $K$ będzie takie, że $L^{\star }-\varepsilon /2<{L}_{K}\leqslant L^{\star }.$

Biorąc teraz $n\geqslant \max\{N,K\}$ mamy:

$|c_{m_{n}}-L^{\star }|<|c_{m_{n}}-{L}_{n}|+|{L}_{n}-L^{\star }|=(c_{m_{n}}-{L}_{n})+(L^{\star }-{L}_{n})\leqslant 1/2^{n}+(L^{\star }-{L}_{K})<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon$

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu $(c_{m_{n}})_{n}$ do $L^{\star }.$

Zauważmy, że $L^{\star }$ jest także granicą ciągów $(M_{n})_{n}$ oraz $R_{n}=M_{n}+d/2^{n}.$

Wniosek: twierdzenie Weierstrassa

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wynika twierdzenie Weierstrassa:

jeśli $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja $f$ osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb $c,d\in [a,b]$ mamy:

$\forall x\in [a,b]\quad f(d)\leqslant f(x)\leqslant f(c).$

Dowód

Pokażemy najpierw, że obraz funkcji $f$ jest ograniczony. Ponieważ każdy z przedziałów funkcji $(-M,M),$ dla $M\in \mathbb {R} ,$ jest zbiorem otwartym, a $f$ jest ciągła, to otwarte (w zbiorze $[a,b]$) są zbiory $f^{-1}[(-M,M)].$ Rodzina $\{f^{-1}[(-M,M)]:M\in \mathbb {R} \}$ pokrywa przedział $[a,b],$ więc ze zwartości tego ostatniego, istnieją $M_{1},\dots ,M_{s}>0,$ dla których $[a,b]=f^{-1}[(-M_{1},M_{1})]\cup \ldots \cup f^{-1}[(-M_{s},M_{s})].$ Wówczas, jak łatwo widać, dla dowolnego $x\in [a,b]$ mamy $-M\leqslant f(x)\leqslant M,$ gdzie $M=\max\{M_{1},\dots ,M_{S}\},$ co oznacza, że $f$ jest funkcją ograniczoną.

Oznaczmy kres górny obrazu $f$ przez ${\tilde {d}}.$

${\tilde {d}}\in \mathbb {R}$ i istnieje ciąg $(d_{n})_{n=0}^{\infty }$ punktów przedziału $[a,b]$ dla których ciąg $f(d_{n})$ jest zbieżny do ${\tilde {d}}.$ Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg $(d_{n_{k}})_{k=0}^{\infty }$ ciągu $(d_{n})_{n=0}^{\infty }$ zbieżny do pewnej granicy $d.$ Wtedy na mocy ciągłości funkcji $f$ otrzymujemy $f({d})=\lim _{k\to \infty }f(d_{n_{k}})={\tilde {d}}.$ A więc wartość funkcji $f$ w punkcie ${d}\in [a,b]$ jest kresem górnym obrazu $f$ (a więc także $f(x)\leqslant f(d)$ dla wszystkich $x\in [a,b]$).

W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby $c,$ dla której $f({c})=\inf\{f(x):a\leqslant x\leqslant b\}.$

Analiza założeń

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka $[a,b]$) jest istotne. Na przykład funkcja $f\colon (0,1]\ni x\mapsto 1/x\in \mathbb {R}$ jest ciągła, ale nie jest ograniczona. Podobnie $f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto e^{x}\in \mathbb {R}$ nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.

Twierdzenie Weierstrassa jest używane m.in. w dowodzie twierdzenia Rolle’a.

Bibliografia

• Grigorij Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.brak strony w książce
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1973.brak strony w książce
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Bolzano-Weierstrass theorem, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Bolzano-Weierstrass Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Extreme Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-14].