Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:

Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu s w siebie ma punkt stały.

Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).

n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w \mathbb{R}^{n+1}, zawierający n+1 punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich n+1 osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych. Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.

Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta.[1] Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni \mathbb{R}^2, ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincaré w 1886 roku.[2][3]

Przypisy

  1. ↑ L.E.J. Brouwer, "Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich" Math. Ann. , 69 (1910) str. 176–180
  2. ↑ P. Bohl, "Ueber die Beweging eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage" J. Reine Angew. Math., 127 (1904) str. 179–276
  3. ↑ H. Poincaré, "Sur les courbes definies par les équations différentielles" J. de Math. , 2 (1886)

Linki zewnętrzne [edytuj]

Źródło „http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Twierdzenie_Brouwera_o_punkcie_stałym&oldid=35260904”