Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości

Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości – twierdzenie topologii sformułowane i udowodnione w 1912 przez Jana Brouwera^[1]. Mówi ono, że podzbiór przestrzeni euklidesowej homeomorficzny z podzbiorem otwartym tej przestrzeni jest jej podzbiorem otwartym.

Brouwer użył w dowodzie wprowadzonych przez siebie metod topologii algebraicznej, a w szczególności twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.

Twierdzenie to bywa również nazywane twierdzeniem o niezmienniczości obszaru (ang. Invariance of Domain).

Inne sformułowanie[edytuj]

Twierdzenie to można również wypowiedzieć w następujący sposób:

Jeżeli funkcja $h:U \to \mathbb{R}^n$ jest ciągłą injekcją zbioru otwartego $U \subset \mathbb{R}^n$ na zbiór $V = h(U)$ , to zbiór $V$ jest otwarty w $\mathbb{R}^n$ .

Wnioski[edytuj]

Przestrzenie euklidesowe różniące się wymiarami nie są homeomorficzne. Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm $h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, m \neq n$ (możemy założyć, że $m < n$ ), a $i: \mathbb{R}^m \hookrightarrow \mathbb{R}^n$ było naturalnym odwzorowaniem włożenia, to złożenie $ih: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń $\mathbb{R}^n$ na podzbiór otwarty zawarty w $i(\mathbb{R}^m)$ . Jedynym otwartym podzbiorem $i(\mathbb{R}^m)$ jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być $m = n$ .
Nie istnieją odwzorowania ciągłe wzajemnie jednoznaczne przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej wymiarem.

Uwagi[edytuj]

Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na rozmaitości. Mianowicie, jeśli $M$ i $N$ są $n$ -wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie $h:M \to N$ jest ciągłe i lokalnie różnowartościowe, to jest ono również otwarte.
W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być przestrzeń Hilberta $\ell^2$ oraz odwzorowanie $h: \ell^2 \to \ell^2$ , takie że $h(x_1,x_2,\ldots) = (0,x_1,x_2,\ldots)$ . Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń $\ell^2$ na zbiór o pustym wnętrzu.