Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości

Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości – twierdzenie topologii sformułowane i udowodnione w 1912 przez Jana Brouwera. Mówi ono, że podzbiór przestrzeni euklidesowej homeomorficzny z podzbiorem otwartym tej przestrzeni jest jej podzbiorem otwartym.

Brouwer użył w dowodzie wprowadzonych przez siebie metod topologii algebraicznej, a w szczególności twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.

Twierdzenie to bywa również nazywane twierdzeniem o niezmienniczości obszaru (ang. Invariance of Domain).

Inne sformułowanie

Twierdzenie to można również wypowiedzieć w następujący sposób:

Jeżeli funkcja $h:U\to \mathbb {R} ^{n}$ jest ciągłą injekcją zbioru otwartego $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ na zbiór $V=h(U),$ to zbiór $V$ jest otwarty w $\mathbb {R} ^{n}.$

Wnioski

• Przestrzenie euklidesowe różniące się wymiarami nie są homeomorficzne. Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},m\neq n$ (możemy założyć, że $m<n$), a $i:\mathbb {R} ^{m}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}$ było naturalnym odwzorowaniem włożenia, to złożenie $ih:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń $\mathbb {R} ^{n}$ na podzbiór otwarty zawarty w $i(\mathbb {R} ^{m}).$ Jedynym otwartym podzbiorem $i(\mathbb {R} ^{m})$ jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być $m=n.$
• Nie istnieją odwzorowania ciągłe wzajemnie jednoznaczne przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej wymiarem.

Uwagi

• Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na rozmaitości. Mianowicie, jeśli $M$ i $N$ są $n$-wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie $h:M\to N$ jest ciągłe i lokalnie różnowartościowe, to jest ono również otwarte.
• W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być przestrzeń Hilberta $\ell ^{2}$ oraz odwzorowanie $h:\ell ^{2}\to \ell ^{2},$ takie że $h(x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots ).$ Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń $\ell ^{2}$ na zbiór o pustym wnętrzu.

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• rozmaitość topologiczna
• twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Literatura

1. Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 94–96.