Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości – twierdzenie topologii sformułowane i udowodnione w 1912 przez Jana Brouwera[1]. Mówi ono, że podzbiór przestrzeni euklidesowej homeomorficzny z podzbiorem otwartym tej przestrzeni jest jej podzbiorem otwartym.

Brouwer użył w dowodzie wprowadzonych przez siebie metod topologii algebraicznej, a w szczególności twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.

Twierdzenie to bywa również nazywane twierdzeniem o niezmienniczości obszaru (ang. Invariance of Domain).

Inne sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie to można również wypowiedzieć w następujący sposób:

Jeżeli funkcja h:U \to \mathbb{R}^n jest ciągłą injekcją zbioru otwartego U \subset \mathbb{R}^n na zbiór V = h(U), to zbiór V jest otwarty w \mathbb{R}^n.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzenie euklidesowe różniące się wymiarami nie są homeomorficzne. Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, m \neq n (możemy założyć, że m < n), a i: \mathbb{R}^m \hookrightarrow \mathbb{R}^n było naturalnym odwzorowaniem włożenia, to złożenie ih: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń \mathbb{R}^n na podzbiór otwarty zawarty w i(\mathbb{R}^m). Jedynym otwartym podzbiorem i(\mathbb{R}^m) jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być m = n.
  • Nie istnieją odwzorowania ciągłe wzajemnie jednoznaczne przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej wymiarem.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na rozmaitości. Mianowicie, jeśli M i Nn-wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie h:M \to N jest ciągłe i lokalnie różnowartościowe, to jest ono również otwarte.
  • W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być przestrzeń Hilberta \ell^2 oraz odwzorowanie h: \ell^2 \to \ell^2, takie że h(x_1,x_2,\ldots) = (0,x_1,x_2,\ldots). Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń \ell^2 na zbiór o pustym wnętrzu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Brouwer L. Zur Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 72 (1912), strony 55 – 56

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  1. Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 94-96.