Twierdzenie Buckinghama

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Buckinghama znane też jako twierdzenie pi (twierdzenie Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Twierdzenie wprowadził E. Buckingham w 1914 roku.

Stwierdza ono, że:

jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe.

Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci:

 f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_n)=0

gdzie  Q_1 \ldots Q_n są zmiennymi niezależnymi.

Możemy je zapisać w postaci funkcji modułów bezwymiarowych:

f(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_m)=0

gdzie  \pi_1 \ldots \pi_{n-r} są modułami bezwymiarowymi.

Jeżeli liczbę modułów bezwymiarowych oznaczymy m, a liczbę wymiarów podstawowych r to liczba modułów bezwymiarowych równa się m = n – r.

Każdy taki moduł może być przedstawiony w postaci:

\pi = Q_1^{a_1}\,Q_2^{a_2} \ldots Q_n^{a_n}

gdzie  a_1 \ldots a_i – stałe

Interpretacja[edytuj | edytuj kod]

Interpretacja twierdzenia pi opiera się na pojęciach przestrzeni metrycznej i przestrzeni wektorowej.

Twierdzenie to traktuje jednostki fizyczne (podstawowe i ich pochodne) jako wektory w przestrzeni wektorowej, a jednostki podstawowe jako wektory bazowe.

Jeżeli mamy układ złożony z n jednostek fizycznych, w tym m jednostek podstawowych, to otrzymamy macierz wymiarową złożoną z m wierszy i n kolumn, którą możemy zapisać jako układ:

 f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_n)=0

Rząd tej macierzy (A) jest równy lub mniejszy niż m (rząd oznaczmy przez r):

 R \left(A \right) = r \leqslant m

Jeżeli r<n oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. Układ taki można zapisać:

 f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_r, Q_{k_1}, \ldots, Q_{k_{n-r} } )=0

Zmienne  Q_1 \ldots Q_r są niezależne (to znaczy, że żadnej z nich nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej innej), a  Q_{k_1} \ldots Q_{k_{n-r} } to parametry.

Z algebry liniowej wiadomo, że dowolną kolumnę  Q_{k} , gdzie r<k<n, można przedstawić jako kombinację liniową pierwszych r kolumn :

 Q_k = Q_{1}^{b_1} \cdot Q_{2}^{b_2} \ldots Q_{r}^{b_r}

gdzie  b_1 \ldots b_r to stałe będące liczbami rzeczywistymi.

Z układu r równań można obliczyć r niewiadomych.

Pozostałe zmienne ( Q_k , gdzie r<k<n) można przedstawić w postaci bezwymiarowej dzieląc każdą z nich przez kombinację r pierwszych zmiennych:

 \pi_i = \frac{Q_{k_i}}{ Q_{1}^{b_1} \cdot Q_{2}^{b_2} \ldots Q_{r}^{b_r} }

Wtedy układ równań przyjmuje postać:

 f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_r, \pi_1, \ldots, \pi_{n-r})=0

W układzie tym jedynie zmienne  Q_1 \ldots Q_r posiadają wymiar. Nie da się ich przedstawić w postaci bezwymiarowej ponieważ z założenia są niezależne wymiarowo. Ponieważ każde równanie fizyczne musi być jednorodne wymiarowo zmienne te muszą zostać usunięte z równania.

Układ równań przyjmuje nową formę (wszystkie zmienne przedstawione są w nim w postaci bezwymiarowej):

 f(\pi_1, \ldots, \pi_{n-r})=0

Liczba modułów bezwymiarowych, przy pomocy której da się wyrazić równanie równa jest n-r

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Buckingham E., On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).
  • Buckingham E., The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915).
  • Buckingham E., Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).