Twierdzenie Buckinghama

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Buckinghama znane też jako twierdzenie pi (twierdzenie Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Twierdzenie wprowadził E. Buckingham w 1914 roku.

Stwierdza ono, że

jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe.

Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci:

 f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_n)=0

gdzie  Q_1 \ldots Q_n są zmiennymi niezależnymi.

Możemy je zapisać w postaci funkcji modułów bezwymiarowych:

f(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_m)=0

gdzie  \pi_1 \ldots \pi_{n-r} są modułami bezwymiarowymi.

Jeżeli liczbę modułów bezwymiarowych oznaczymy m, a liczbę wymiarów podstawowych r to liczba modułów bezwymiarowych równa się m = n - r.

Każdy taki moduł może być przedstawiony w postaci:

\pi = Q_1^{a_1}\,Q_2^{a_2} \ldots Q_n^{a_n}

gdzie  a_1 \ldots a_i - stałe

Interpretacja[edytuj | edytuj kod]

Interpretacja twierdzenia pi opiera się na pojęciach przestrzeni metrycznej i przestrzeni wektorowej.

Twierdzenie to traktuje jednostki fizyczne (podstawowe i ich pochodne) jako wektory w przestrzeni wektorowej, a jednostki podstawowe jako wektory bazowe.

Jeżeli mamy układ złożony z n jednostek fizycznych, w tym m jednostek podstawowych, to otrzymamy macierz wymiarową złożoną z m wierszy i n kolumn, którą możemy zapisać jako układ:

 f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_n)=0

Rząd tej macierzy (A) jest równy lub mniejszy niż m (rząd oznaczmy przez r):

 R \left(A \right) = r \leqslant m

Jeżeli r<n oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. Układ taki można zapisać:

 f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_r, Q_{k_1}, \ldots, Q_{k_{n-r} } )=0

Zmienne  Q_1 \ldots Q_r są niezależne (to znaczy, że żadnej z nich nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej innej), a  Q_{k_1} \ldots Q_{k_{n-r} } to parametry.

Z algebry liniowej wiadomo, że dowolną kolumnę  Q_{k} , gdzie r<k<n, można przedstawić jako kombinację liniową pierwszych r kolumn :

 Q_k = Q_{1}^{b_1} \cdot Q_{2}^{b_2} \ldots Q_{r}^{b_r}

gdzie  b_1 \ldots b_r to stałe będące liczbami rzeczywistymi.

Z układu r równań można obliczyć r niewiadomych.

Pozostałe zmienne ( Q_k , gdzie r<k<n) można przedstawić w postaci bezwymiarowej dzieląc każdą z nich przez kombinację r pierwszych zmiennych:

 \pi_i = \frac{Q_{k_i}}{ Q_{1}^{b_1} \cdot Q_{2}^{b_2} \ldots Q_{r}^{b_r} }

Wtedy układ równań przyjmuje postać;

 f(Q_1, Q_2, Q_3, \ldots, Q_r, \pi_1, \ldots, \pi_{n-r})=0

W układzie tym jedynie zmienne  Q_1 \ldots Q_r posiadają wymiar. Nie da się ich przedstawić w postaci bezwymiarowej ponieważ z założenia są niezależne wymiarowo. Ponieważ każde równanie fizyczne musi być jednorodne wymiarowo zmienne te muszą zostać usunięte z równania.

Układ równań przyjmuje nową formę (wszystkie zmienne przedstawione są w nim w postaci bezwymiarowej):

 f(\pi_1, \ldots, \pi_{n-r})=0

Liczba modułów bezwymiarowych, przy pomocy której da się wyrazić równanie równa jest n-r

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Buckingham E., On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).
  • Buckingham E., The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915).
  • Buckingham E., Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).