Twierdzenie Cauchy'ego (teoria wyznaczników)

Twierdzenie Cauchy'ego – twierdzenie przypisywane Cauchy'emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Dowód
3 Wnioski
4 Bibliografia

Twierdzenie [edytuj]

Niech $A, B\,$ będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór

$\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

Dowód [edytuj]

Niech

$A = [a_{ij}] \in M, B = [b_{ij}],\ i,j = 1,\dots,n$

Rozważmy macierz klatkową

$P :=\begin{bmatrix} A & 0 \\ -I & B \end{bmatrix}.$

Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej: $\det P = \det A \cdot \det B \ \ (\star)$
Wykonując operacje elementarne na macierzy $P \,$ sprowadzimy ją do postaci $\begin{bmatrix} A & AB \\ -I & 0 \end{bmatrix}$

Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy $P\,$ przez element $b_{11}, \,$ drugą kolumnę przez $b_{21}, \,$ trzecią przez $b_{31}, \dots ,$ n-tą przez $b_{n1}, \,$ a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:

$\begin{bmatrix} & & & a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \dots + a_{1n}b_{n1} & 0 & \dots & 0 \\ & A & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ & & & a_{n1}b_{11} + a_{n2}b_{21} + \dots + a_{nn}b_{n1} & 0 & \dots & 0 \\ & & & 0 & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ & -I & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ & & & 0 & b_{n2} & \dots & b_{nn} \end{bmatrix}$

Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element $b_{12}, \,$ drugą kolumnę przez $b_{22}, \,$ trzecią przez $b_{32}, \dots ,$ n-tą przez $b_{n2}, \,$ a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:

$\begin{bmatrix} & & & a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \dots + a_{1n}b_{n1} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + \dots + a_{1n}b_{n2} & 0 & \dots & 0 \\ & A & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ & & & a_{n1}b_{11} + a_{n2}b_{21} + \dots + a_{nn}b_{n1} & a_{n1}b_{12} + a_{n2}b_{22} + \dots + a_{nn}b_{n2} & 0 & \dots & 0 \\ & & & 0 & 0 & b_{13} & \dots & b_{1n} \\ & -I & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ & & & 0 & 0 & b_{n3} & \dots & b_{nn} \end{bmatrix}$

Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:

$Q := \begin{bmatrix} A & AB \\ -I & 0 \end{bmatrix}.$

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc $\det P = \det Q . \,$
Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy: $\det Q = (-1)^{n^2} \det(-I) \det(AB) = (-1)^{n^2} \cdot (-1)^n \det I \det(AB) = \det(AB) \ \ (\star \star)$

$( n^2 + n \,$ jest zawsze parzyste, więc $(-1)^{n^2+n} = 1 )$

$(\star), (\star \star) \Rightarrow \det A \cdot \det B = \det P = \det Q = \det(AB).$ Co kończy dowód twierdzenia.

Wnioski [edytuj]

$\det(AB) = \det A \cdot \det B = \det B \cdot \det A = \det(BA)$
Jeżeli $A\,$ jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ $\det I = 1 \,$ oraz $AA^{-1} = I\,$ , to $\det AA^{-1} = 1 \,$ i dalej $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ , a stąd $\det A^{-1} = (\det A)^{-1}\,$ . Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech $A$ oraz $B$ będą takimi macierzami, wtedy

$\det B = \det (P^{-1}AP) = \det (P P^{-1}A) = \det A\,$ .