Twierdzenie Cayleya

Twierdzenie Cayleya – twierdzenie teorii grup autorstwa Arthura Cayleya mówiące, iż dowolna abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości pewną grupą przekształceń (podgrupą grupy symetrycznej) zbioru, na którym została ona określona. Pozwala ono przełożyć wszystkie wyniki dotyczące grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne.

Twierdzenie

Każda grupa $G$ jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji $\operatorname{Sym}(G)$ zbioru $G$. W szczególności, każda grupa $G$ rzędu $n$ jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy $\operatorname{S}_n$.

Dowód

Dla dowolnej grupy $(G, \cdot)$ i dowolnego elementu $g \in G$, niech odwzorowanie $\psi_g\colon G \to G$ będzie zadane wzorem $\psi_g(x) = gx$. Funkcja $\psi_g$ jest bijekcją zbioru elementów. Należy udowodnić, że przekształcenie $\psi\colon G \to \operatorname{Sym}(G),\; \psi(g) = \psi_g$ jest zanurzeniem (monomorfizmem):

$\begin{align} \psi(g_1 g_2)(x) & = \psi_{g_1 g_2}(x) = (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = \psi_{g_1}(\psi_{g_2}(x)) \\ & = (\psi_{g_1}\circ \psi_{g_2})(x) = \left(\psi(g_1) \circ \psi(g_2)\right)(x) \end{align}$,

zatem $\psi(g_1 g_2) = \psi(g_1)\circ \psi(g_2)$.

Homomorfizm $\psi$ nazywa się niekiedy reprezentacją regularną $G$. Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, iż działanie $\psi$ grupy $G$ na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

Zobacz też

• lemat Yonedy

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.