Twierdzenie Cayleya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Cayleyatwierdzenie teorii grup autorstwa Arthura Cayleya mówiące, iż dowolna abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości pewną grupą przekształceń (podgrupą grupy symetrycznej) zbioru, na którym została ona określona. Pozwala ono przełożyć wszystkie wyniki dotyczące grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa G jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji \operatorname{Sym}(G) zbioru G. W szczególności, każda grupa G rzędu n jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy \operatorname{S}_n.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej grupy (G, \cdot) i dowolnego elementu g \in G, niech odwzorowanie \psi_g\colon G \to G będzie zadane wzorem \psi_g(x) = gx. Funkcja \psi_g jest bijekcją zbioru elementów. Należy udowodnić, że przekształcenie \psi\colon G \to \operatorname{Sym}(G),\; \psi(g) = \psi_g jest zanurzeniem (monomorfizmem):

\begin{align} \psi(g_1 g_2)(x) & = \psi_{g_1 g_2}(x) = (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = \psi_{g_1}(\psi_{g_2}(x)) \\ & = (\psi_{g_1}\circ \psi_{g_2})(x) = \left(\psi(g_1) \circ \psi(g_2)\right)(x) \end{align},

zatem \psi(g_1 g_2) = \psi(g_1)\circ \psi(g_2).

Homomorfizm \psi nazywa się niekiedy reprezentacją regularną G. Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, iż działanie \psi grupy G na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.