Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona (nazwa od matematyków Artura Cayleya i Williama Hamiltona) mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.

Dokładniej; jeżeli A jest macierzą n×n oraz In  jest macierzą identycznościową n×n to wielomian charakterystyczny A jest zdefiniowany jako:

w(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,

gdzie "det" oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona mówi, że podstawienie A do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

w(A)=0_n.\,

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya–Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy macierz

A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}.

Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:

w(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że

A^2-5A-2I_2=0_2

czyli:

A^2-5A-2I_2=\begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}^2-5*\begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}-2*\begin{bmatrix}1&0\\
0&1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}7&10\\
15&22\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}5&10\\
15&20\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2&0\\
0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\
0&0\end{bmatrix}.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.

Biorąc powyższe wyniki

A^2-5A-2I_2=0_2
A^2=5A+2I_2.

policzmy A4:

A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2
A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A
A^4=145A+54I_2.