Twierdzenie Chinczyna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Wienera-Chinczyna (twierdzenie Chinczyna-Wienera) głosi, że widmowa gęstość mocy słabo stacjonarnego procesu jest transformatą Fouriera odpowiadającej procesowi funkcji autokorelacji[1][2][3].

W przypadku ciągłym:


S_{xx}(f)=\int_{-\infty}^\infty r_{xx}(\tau)e^{-j2\pi f\tau} \ d\tau

gdzie

r_{xx}(\tau) = \operatorname{E}\big[\, x(t)x^*(t-\tau) \, \big] \

jest funkcją autokorelacji wyrażoną przez statystyczną wartość oczekiwaną, oraz gdzie

S_{xx}(f) \

oznacza widmową gęstość mocy procesu x(t)\,.

Symbol gwiazdki oznacza sprzężenie zespolone, może zostać pominięty dla procesu losowego o wartościach rzeczywistych.

Przypadek dyskretny:

 S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-j2\pi k f}

gdzie

r_{xx}[k] = \operatorname{E}\big[ \, x[n] x^*[n-k] \, \big] \

oraz

S_{xx}(f) \

jest widmową gęstością mocy x[n]\,. Jest w tym przypadku funkcją okresową w dziedzinie częstotliwości.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie wykorzystywane jest w analizie liniowych układów niezależnych od czasu. Pozwala na badanie układu, gdy sygnał wejściowy nie jest całkowalny z kwadratem i nie posiada transformaty Fouriera.

Przypisy

  1. Dennis Ward Ricker: Echo Signal Processing. Springer, 2003. ISBN 140207395X.
  2. Leon W. Couch II: Digital and Analog Communications Systems. Prentice Hall, New Jersey, 2001, s. 406–409.
  3. Krzysztof Iniewski: Wireless Technologies: Circuits, Systems, and Devices. CRC Press, 2007. ISBN 0849379962.