Twierdzenie Cochrana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Cochranatwierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Założenia[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że U_1, U_2, \dots, U_nniezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

\sum_{i=1}^n~U_i^2 = Q_1 + \dots + Q_k,

gdzie Q_i są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych U_i, takimi że

r_i + \dots +r_k = n

gdzie r_i są rzędami Q_i.

Teza[edytuj | edytuj kod]

Zmienne Q_i są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ2 z r_i stopniami swobody.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Jeśli X_1, \dots, X_n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią \mu i odchyleniem standardowym \sigma, wtedy

U_i = {X_i-\mu \over \sigma}

ma standardowy rozkład normalny dla każdego i.

Możemy zapisać:

\sum_{i=1}^n~(X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n~(X_i + \overline X - \overline X - \mu)^2 =
= \sum_{i=1}^n~(X_i-\overline X)^2 + \sum_{i=1}^n~(\overline X - \mu)^2 + 2\sum_{i=1}^n~(X_i - \overline X)(\overline X - \mu).

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

\sum_{i=1}^n~(X_i - \overline X),

natomiast drugi składnik jest sumą n identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez \sigma^2 otrzymujemy:


\sum_{i=1}^n~\left( {X_i - \mu \over \sigma} \right)^2 = \sum_{i=1}^n~\left( {X_i - \overline X \over \sigma} \right)^2 + n\left( {\overline X - \mu \over \sigma} \right)^2 = Q_1 + Q_2.

Ranga Q_2 wynosi 1 (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga Q_1 być z kolei obliczona jako n - 1.


Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że Q_1 i Q_2 są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład \chi^2 ze stopniami swobody odpowiednio n - 1 i 1.

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

(\overline X - \mu)^2 \sim {\sigma^2 \over n}\chi^2_1.

Jako estymatora wariancji \sigma^2 używa się często:

\hat{\sigma^2} = {1 \over n} \sum~\left( X_i - \overline X \right)^2.

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

\hat{\sigma^2}\sim {\sigma^2 \over n}\chi^2_{n-1},

z czego wynika, że wartością oczekiwaną \hat{\sigma^2} jest \sigma^2 n \over n - 1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]