Twierdzenie Cochrana

Twierdzenie Cochrana – twierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Założenia

Załóżmy, że $U_1, U_2, \dots, U_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

$\sum_{i=1}^n~U_i^2 = Q_1 + \dots + Q_k$,

gdzie $Q_i$ są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych $U_i$, takimi że

$r_i + \dots +r_k = n$

gdzie $r_i$ są rzędami $Q_i$.

Teza

Zmienne $Q_i$ są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ² z $r_i$ stopniami swobody.

Przykład

Jeśli $X_1, \dots, X_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma$, wtedy

$U_i = {X_i-\mu \over \sigma}$

ma standardowy rozkład normalny dla każdego $i$.

Możemy zapisać:

$\sum_{i=1}^n~(X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n~(X_i + \overline X - \overline X - \mu)^2 =$

$= \sum_{i=1}^n~(X_i-\overline X)^2 + \sum_{i=1}^n~(\overline X - \mu)^2 + 2\sum_{i=1}^n~(X_i - \overline X)(\overline X - \mu)$.

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

$\sum_{i=1}^n~(X_i - \overline X)$,

natomiast drugi składnik jest sumą $n$ identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez $\sigma^2$ otrzymujemy:

$\sum_{i=1}^n~\left( {X_i - \mu \over \sigma} \right)^2 = \sum_{i=1}^n~\left( {X_i - \overline X \over \sigma} \right)^2 + n\left( {\overline X - \mu \over \sigma} \right)^2 = Q_1 + Q_2$.

Ranga $Q_2$ wynosi $1$ (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga $Q_1$ być z kolei obliczona jako $n - 1$.

Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że $Q_1$ i $Q_2$ są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład $\chi^2$ ze stopniami swobody odpowiednio $n - 1$ i $1$.

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

$(\overline X - \mu)^2 \sim {\sigma^2 \over n}\chi^2_1$.

Jako estymatora wariancji $\sigma^2$ używa się często:

$\hat{\sigma^2} = {1 \over n} \sum~\left( X_i - \overline X \right)^2$.

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

$\hat{\sigma^2}\sim {\sigma^2 \over n}\chi^2_{n-1}$,

z czego wynika, że wartością oczekiwaną $\hat{\sigma^2}$ jest $\sigma^2 n \over n - 1$.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu statystyki,
• analiza wariancji,
• twierdzenie Fishera.