Twierdzenie Darboux

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Darbouxtwierdzenie analizy matematycznej mówiące, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux, czyli w szczególności, każda funkcja ciągła f w przedziale [a, b] przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy f(a) i f(b) (lub f(b) i f(a), gdy f(b)<f(a)). Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Jeana Darboux.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

  • Niech f\colon [a, b] \to \mathbb R będzie taką funkcją ciągłą, że f(a) · f(b) < 0 (tzn. wartości funkcji f na końcach przedziałów mają różne znaki). Istnieje wówczas taki punkt c w przedziale [a, b], że
f(c) = 0.

Twierdzenie powyższe jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia mówiącego, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux. W tym przypadku:

  • Jeżeli funkcja f\colon [a, b] \to \mathbb R jest ciągła, f(a) ≠ f(b) oraz d spełnia jedną nierówności f(a) < d < f(b) lub f(a) > d > f(b), to istnieje taki punkt c w przedziale [a, b], że
f(c) = d.

Dowód topologiczny[edytuj | edytuj kod]

Niech B będzie zbiorem wartości funkcji f, tj.

B=\{f(x)\colon\, x \in [a,b]\}.

Załóżmy nie wprost, że d \notin B. Wówczas zbiory

B_1 = B \cap (-\infty, d) oraz B_2 = B \cap (d, \infty)

są otwartymi i niepustymi podzbiorami przestrzeni B (z topologią dziedziczoną z \mathbb{R}). Ponieważ funkcja f jest ciągła, więc przeciwobrazy

A_1=f^{-1}(B_1) i A_2=f^{-1}(B_2)

są niepustymi, rozłącznymi zbiorami otwartymi w [a, b], które sumują się do [a, b]. Ponieważ jednak przedział [a, b] jest spójny, nie jest to możliwe, co przeczy założeniu iż d nie należy do B.

Dowód analityczny[edytuj | edytuj kod]

Bez straty ogólności możemy założyć, że f(a)<f(b). Niech

c=\sup\{x\in[a,b]\colon f(x)\leqslant d \}.

W szczególności, c jest elementem przedziału (a, b). Na mocy ciągłości funkcji f, zachodzi

f(c)\leqslant d.

Gdyby f(c) było różne od d, to dla pewnego

0<\delta<\min\{c-a,b-c\},

spełniony byłoby warunek

f(x)<d, o ile tylko |x-c|<\delta.

Oznacza to, iż w szczególności,

f(c+\delta/2)<d,

co przeczy definicji liczby c, gdyż

c<c+\delta/2,

a c jest przecież supremum spośród liczb z przedziału [a, b] dla których wartości funkcji f nie przekraczają d.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]