Twierdzenie Darboux

Twierdzenie Darboux – twierdzenie analizy matematycznej mówiące, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux, czyli w szczególności, każda funkcja ciągła f w przedziale [a, b] przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy f(a) i f(b) (lub f(b) i f(a), gdy f(b)<f(a)). Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Jeana Darboux.

Twierdzenie

• Niech $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ będzie taką funkcją ciągłą, że f(a) · f(b) < 0 (tzm. wartości funkcji f na końcach przedziałów mają różne znaki). Istnieje wówczas taki punkt c w przedziale [a, b], że

$f(c) = 0$.

Twierdzenie powyższe jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia mówiącego, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux. W tym przypadku:

• Jeżeli funkcja $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ jest ciągła, f(a) ≠ f(b) oraz d spełnia jedną nierówności f(a) < d < f(b) lub f(a) > d > f(b), to istnieje taki punkt c w przedziale [a, b], że

$f(c) = d$.

Dowód topologiczny

Niech B będzie zbiorem wartości funkcji f, tj.

$B=\{f(x)\colon\, x \in [a,b]\}$.

Załóżmy nie wprost, że $d \notin B$. Wówczas zbiory

$B_1 = B \cap (-\infty, d)$ oraz $B_2 = B \cap (d, \infty)$

są otwartymi i niepustymi podzbiorami przestrzeni B (z topologią dziedziczoną z $\mathbb{R}$). Ponieważ funkcja f jest ciągła, więc przeciwobrazy

$A_1=f^{-1}(B_1)$ i $A_2=f^{-1}(B_2)$

są niepustymi, rozłącznymi zbiorami otwartymi w [a, b], które sumują się do [a, b]. Ponieważ jednak przedział [a, b] jest spójny, nie jest to możliwe, co przeczy założeniu iż d nie należy do B.

Dowód analityczny

Bez straty ogólności możemy założyć, że $f(a)<f(b)$. Niech

$c=\sup\{x\in[a,b]\colon f(x)\leqslant d \}$.

W szczególnosci, c jest elementem przedziału (a, b). Na mocy ciągłości funkcji f, zachodzi

$f(c)\leqslant d$.

Gdyby f(c) było różne od d, to dla pewnego

$0<\delta<\min\{c-a,b-c\}$,

spełniony byłoby warunek

$f(x)<d$, o ile tylko $|x-c|<\delta$.

Oznacza to, iż w szczególności,

$f(c+\delta/2)<d$,

co przeczy definicji liczby c, gdyż

$c<c+\delta/2$,

a c jest przecież supremum spośród liczb z przedziału [a, b] dla których wartości funkcji f nie przekraczają d.

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski: Wykłady rachunku różniczkowego i całkowego. Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk, 1948, s. 83-84, seria: Monografie Matematyczne.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 170-171. ISBN 830232-1049-7.

Zobacz też

• własność Darboux
• twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
• twierdzenie o zaczesywaniu sfery