Twierdzenie Desarguesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja twierdzenia Desarguesa

Twierdzenie Desarguesa – jedno z pierwszych twierdzeń geometrii rzutowej, sformułowane i udowodnione w XVII wieku przez francuskiego matematyka Gerarda Desarguesa. Wraz z twierdzeniem Pascala stanowi przykład twierdzenia, które jest niezależne od oryginalnego układu aksjomatów geometrii podanego przez Euklidesa – oznacza to, że nie da się go udowodnić ani obalić, bez przyjęcia dodatkowych założeń.

Twierdzenie Desarguesa wyrażone w języku geometrii euklidesowej stwierdza, co następuje:

Jeżeli dwa trójkąty położone są na płaszczyźnie w taki sposób, że proste wyznaczone przez odpowiednie pary ich wierzchołków przecinają się w jednym punkcie (rysunek obok), to proste zawierające boki trójkąta przecinają się w punktach, które są współliniowe.

Twierdzenie to ma następujące, również prawdziwe, odwrócenie:

Jeżeli dwa trójkąty położone są na płaszczyźnie w taki sposób, że punkty przecięcia prostych zawierających boki trójkątów są współliniowe, to proste wyznaczone przez pary odpowiednich wierzchołków przecinają się w jednym punkcie.

W geometrii rzutowej oba te twierdzenia są przykładem tak zwanych twierdzeń dualnych.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia przebiega prościej w przypadku trójwymiarowym, gdzie proste mogą być interpretowane jako przecięcia płaszczyzn. Najpierw rozważany jest przypadek, gdy trójkąty nie są współpłaszczyznowe.

Ponieważ proste AA' i BB' przecinają się, muszą one leżeć w jednej płaszczyźnie (rzutowej). Zatem proste AB i A'B' przecinają się. Gdy trójkąty nie leżą na jednej płaszczyźnie, to punkt przecięcia należy do obu płaszczyzn, w których leżą trójkąty, czyli na prostej będącej ich częścią wspólną. Analogiczne rozumowanie zastosowane do par prostych AA' i CC' oraz BB' i CC' pokazuje, że punkty przecięcia prostych odpowiednio AC i A'C' oraz BC i B'C' również istnieją i leżą na tej prostej.

Przypadek, gdy trójkąty są współpłaszczyznowe (czyli w sytuacji dwuwymiarowej), można sprowadzić do poprzedniego na przykład poprzez zastąpienie punktu przecięcia prostych AA', BB' i CC' punktem, który w trójwymiarowej przestrzeni leży nad nim (o trzeciej współrzędnej równej 1) i podobnie dla punktów trójkąta ABC (gdzie trzecie współrzędne będą równe odpowiednio: \frac{A'A}{A'P}, \frac{B'B}{B'P} i \frac{C'C}{C'P}). Wówczas wszystkie rozważane proste na płaszyźnie są rzutami prostapadłymi prostych występujących w modyfikacji.

Odsyłacze zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]