Twierdzenie Eulera (geometria)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
EulerGeometry.GIF

Twierdzenie Eulera w geometrii opisuje relację między okręgami opisanym i wpisanym w trójkąt.

Teza[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli w danym trójkącie d\ jest odległością pomiędzy środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego, to zachodzi

d^2 = R(R-2r)\ ,

gdzie R\ i r\ oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i wpisanego.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech:

  • O\; będzie środkiem okręgu o promieniu R\; opisanego na danym trójkącie ABC\;,
  • I\; środkiem okręgu o promieniu r\; wpisanego w ten trójkąt.

Dwusieczna AI\; kąta \angle BAC\; przecina okrąg opisany w pewnym punkcie L,\; który połowi łuk BC\;.

Niech prosta LO\; przecina okrąg opisany w punkcie M\;.

Niech D\; będzie rzutem prostokątnym I\; na AB\;: ID=r\;.

Trójkąty ADI\; i MBL\; są podobne (cecha: równość kątów), a zatem ID:BL=AI:ML,\; czyli ID\cdot ML = AI\cdot BL,\; tzn. 2Rr = AI\cdot BL.\; Rozważmy trójkąt BIL\;.

Ponieważ

\angle BIL = \frac{\angle BAC}{2} + \frac{\angle ABC}{2}

(BI\; jest dwusieczną kąta \angle ABC\;),

\angle IBL = \frac{\angle ABC}{2} + \angle CBL = \frac{\angle ABC} {2} + \frac{\angle BAC} {2}

więc \angle BIL = \angle IBL i BL = IL\;, skąd AI\cdot IL = 2Rr\;. Niech prosta OI\; przecina okrąg opisany w punktach P\; i Q\;. Wtedy PI\cdot QI = AI\cdot IL = 2Rr\;, czyli (R+d)(R-d)=2Rr\;, tzn. d^2=R(R-2r)\;.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Z twierdzenia tego wynika nierówność Eulera:

R \geqslant 2r