Twierdzenie Fejéra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Fejéra – twierdzenie analizy harmonicznej, mówiące, że ciąg tzw. sum Fejéra rzeczywistej funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue'a, okresowej, o okresie 2π i ciągłej jest do niej zbieżny jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska węgierskiego matematyka, Lipóta Fejéra.

Pojęcia wstępne[edytuj | edytuj kod]

Jeśli f\colon [-\pi,\pi]\to \mathbb{C} jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, to ciąg \hat{f}\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{C} dany wzorem

\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

nazywamy transformatą Fouriera funkcji f, natomiast ciąg (s_n)_{n\in\mathbb{N}} dany wzorem

s_n(x)=\sum_{k=-n}^n\hat{f}(k)e^{ikx} dla x\in \mathbb{R}

nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji f. Jeżeli D_n jest n-tym jądrem Dirichleta oraz x\in \mathbb{R}, to

s_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}D_n(x-y)f(y)dy.

Jeśli (s_n)_{n\in\mathbb{N}} ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji f, to ciąg (\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}} dany wzorem

\sigma_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k dla x\in\mathbb{R}

nazywamy ciągiem sum Fejéra funkcji f.

Twierdzenie Fejéra[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C} jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz okresowa o okresie 2\pi, to ciąg (\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}} jej sum Fejéra jest do niej jednostajnie zbieżny.

Uwagi o dowodzie[edytuj | edytuj kod]

Powyższe twierdzenie można udowodnić korzystając z faktów:

W wypowiedzi twierdzenia zamiast całkowalności ma być oczywiście ciągłość!!! (natomiast z należenia do przestrzeni L^p wynika zbieżność σ_n do f w normie tejże przestrzeni dla 1≤p<∞)

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C} jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz okresowa o okresie 2\pi, x\in\mathbb{R} oraz sum częściowych szeregu Fouriera funkcji f w punkcie x jest zbieżny do f(x), to funkcja f daje się przedstawić w postaci swojego szeregu Fouriera:
f(x)=\tfrac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}((a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)),

gdzie a_n, b_n oznaczają wzory Eulera-Fouriera dla funkcji f.

Korzystając z kryterium Weierstrassa oraz powyższego wnoisku można udowodnić następujące twierdzenie:

  • Jeżeli f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C} jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz okresowa o okresie 2\pi oraz szereg
\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+|b_n|)<\infty,

to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Innym wnioskiem z twierdzenia Fejéra jest następujący fakt:

  • Jeżeli f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C} jest całkowalna w sensie Lebesgue'a oraz okresowa o okresie 2\pi oraz f|_{[-\pi,\pi]} jest funkcją klasy C1, to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Twierdzenia Fejéra używa się także w dowodzie zupełności układu trygonometrycznego, tzn. twierdzenia mówiącego, że jeśli funkcja f\colon [-\pi,\pi]\to\mathbb{C} jest całkowalna z kwadratem, to

\lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)-\sum_{k=-n}^n\hat{f}(k)e^{ikx}|^2dx=0.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]