Twierdzenie Frobeniusa (centralizator macierzy)

Twierdzenie Frobeniusa – twierdzenie o centralizatorze macierzy noszące nazwisko Ferdinanda Georga Frobeniusa.

Jeśli $A$ jest macierzą kwadratową stopnia $n$ nad ciałem $F,$ $d_{i}$ są czynnikami niezmienniczymi macierzy charakterystycznej $A-XI$ nad pierścieniem wielomianów $F[X],$ a $D_{i}$ są największymi wspólnymi dzielnikami minorów stopnia $i$ macierzy charakterystycznej $A-XI$ dla $i=1,2,\ldots ,n,$ to zbiór $Z(A)$ wszystkich macierzy kwadratowych stopnia $n$ nad ciałem $F$ przemiennych z $A$ jest podprzestrzenią przestrzeni macierzy o wymiarze

$\dim Z(A)=\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}\min(\deg d_{i},\deg d_{j})=2\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\deg D_{i}-n,$

gdzie $\deg$ oznacza stopień wielomianu.