Twierdzenie Fubiniego

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że $f:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}$ jest funkcją ciągłą. Wówczas

$\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y)\,dx dy$.

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzenia

Niech $(X,{\mathcal F},\mu)$ i $(Y,{\mathcal G},\nu)$ będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech $\lambda=\mu\otimes \nu$ będzie miarą produktową.

• Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja $h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb R}$ jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:

(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),

(b) jeśli dla $x\in X$ położymy $f(x)=\int\limits_Y h(x,y) d\nu$ a dla $y\in Y$ określimy $g(y)=\int\limits_X h(x,y) d\mu$, to otrzymane funkcje $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ i $g:Y\longrightarrow {\mathbb R}$ są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz

$\int\limits_{X\times Y} h\ d\lambda=\int\limits_X f\ d\mu=\int\limits_Y g\ d\nu$.

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

• Przypuśćmy, że $E\subseteq X\times Y$ jest zbiorem mierzalnym (tzn $E\in {\mathcal F}\otimes {\mathcal G}$). Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) $\lambda(E)=0\,$,

(ii) $\mu\left(\left\{x\in X:\nu(\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$,

(iii) $\nu\left(\left\{y\in Y:\mu(\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$.

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

Przykłady

Zastosowanie

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

$I(a)=\int\limits_{-a}^a e^{-x^2}$.

Wówczas

$\lim_{a\to\infty} I(a) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$.

Zauważmy, że

$I(a)^2=\left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )=\left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int\limits_{-a}^a e^{-y^2} dy \right )=\int\limits_{-a}^a \int\limits_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$.

Stosując twierdzenia Fubiniego do funkcji $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}$ znajdujemy, że $\int\limits_{-a}^a \int\limits_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ równa się całce podwójnej po kwadracie K o wierzchołkach w {(-a, a), (a, a), (a, -a), (-a, -a)} w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie z funkcji f (względem miary Lebesgue'a na płaszczyźnie). Ponieważ wszystkie wartości tej funkcji są dodatnie, to całka po kole wpisanym w kwadrat K będzie mniejsza niż $I(a)^2$, a całka po kole opisanym na kwadracie K będzie większa niż ta wartość. Powtórnie używając twierdzenia Fubiniego, wspomniane dwie całki po kołach możemy wyrazić w układzie biegunowym i wtedy otrzymujemy

$\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I(a)^2 < \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta$

Stąd już prosto mamy, iż

$\pi (1-e^{-a^2}) < I(a)^2 < \pi (1 - e^{-2a^2})$.

Używając twierdzenia o trzech ciągach możemy wywnioskować, że

$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Powyższa całka (nazywana też całką Gaussa) jest jedną z całek często wykorzystywanych w fizyce i statystyce. Często podaje ją się w następującej formie

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=ac\sqrt{\pi}$.

Tę ostatnią formułę otrzymujemy przez przeniesienie a przed znak całki, podstawienie $u=x-b$ a potem podstawienie $w=u/c$ jak następuje:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-u^2/c^2}du=ac\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-w^2}dw=ac\sqrt{\pi}$.

Funkcja niecałkowalna

Rozważmy całki

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx$ oraz $B=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy.$

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że $A=-B$. Pokażemy, że $A\neq 0$, a więc także $A\neq B$.

Do obliczenia całki

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy$

użyjemy podstawienia trygonometrycznego $y=x\operatorname{tg}(\theta)$. Tak więc

$dy=x\sec^2(\theta)\,d\theta$ oraz $x^2+y^2=x^2+x^2\operatorname{tg}^2(\theta)=x^2(1+\operatorname{tg}^2(\theta))=x^2\sec^2(\theta).$

Granice całkowania $0\leqslant y\leqslant 1$ dają nam $0\leqslant x\operatorname{tg}(\theta)\leqslant 1$ czyli $0\leqslant\operatorname{tg}(\theta)\leqslant 1/x$, a stąd $0\leqslant\theta\leqslant\arctan(1/x).$ Zatem

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=$

$\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \frac{x^2(1-\operatorname{tg}^2(\theta))}{(x^2\sec^2(\theta))^2} x\sec^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \frac{1-\operatorname{tg}^2(\theta)}{\sec^2(\theta)}\,d\theta$

$=\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \cos(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\left[\frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)}$

$=\frac{1}{x}\left[\sin(\theta)\cos(\theta) \right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)} =\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x)).$

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

$\sin(\arctan(1/x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ oraz $\cos(\arctan(1/x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$

Zatem

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x))=\frac{1}{1+x^2}.$

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\int\limits_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx =\left[\arctan(x)\right]_0^1=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}.$

Tak więc

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\frac{\pi}{4}$ oraz $B=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy=-\frac{\pi}{4}.$

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji $f:[0,1]\times[0,1]\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb R}:(x,y)\mapsto \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$. Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue'a). I rzeczywiście,

$\int\limits_{[0,1]\times [0,1]}\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|\,d (x,y)=\infty.$

Zobacz też

• Twierdzenie Fichtenholza-Lichtensteina,
• twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej,
• lemat Fatou.