Twierdzenie Fubiniego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że f:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R} jest funkcją ciągłą. Wówczas
\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y)\,dx dy.

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,{\mathcal F},\mu) i (Y,{\mathcal G},\nu) będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech \lambda=\mu\otimes \nu będzie miarą produktową.

  • Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb R} jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:
(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),
(b) jeśli dla x\in X położymy f(x)=\int\limits_Y h(x,y) d\nu a dla y\in Y określimy g(y)=\int\limits_X h(x,y) d\mu, to otrzymane funkcje f:X\longrightarrow {\mathbb R} i g:Y\longrightarrow {\mathbb R} są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz
\int\limits_{X\times Y} h\ d\lambda=\int\limits_X f\ d\mu=\int\limits_Y g\ d\nu.

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

  • Przypuśćmy, że E\subseteq X\times Y jest zbiorem mierzalnym (tzn E\in {\mathcal F}\otimes {\mathcal G}). Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) \lambda(E)=0\,,
(ii) \mu\left(\left\{x\in X:\nu(\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0,
(iii) \nu\left(\left\{y\in Y:\mu(\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0.

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

I(a)=\int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx.

Wówczas

\lim_{a\to\infty} I(a) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx.

Zauważmy, że

I(a)^2=\left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )=\left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int\limits_{-a}^a e^{-y^2} dy \right )=\int\limits_{-a}^a \int\limits_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.

Stosując twierdzenia Fubiniego do funkcji f(x,y) =  e^{-(x^2+y^2)} znajdujemy, że \int\limits_{-a}^a \int\limits_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy równa się całce podwójnej po kwadracie K o wierzchołkach w {(-a, a), (a, a), (a, -a), (-a, -a)} w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie z funkcji f (względem miary Lebesgue'a na płaszczyźnie). Ponieważ wszystkie wartości tej funkcji są dodatnie, to całka po kole wpisanym w kwadrat K będzie mniejsza niż I(a)^2, a całka po kole opisanym na kwadracie K będzie większa niż ta wartość. Powtórnie używając twierdzenia Fubiniego, wspomniane dwie całki po kołach możemy wyrazić w układzie biegunowym i wtedy otrzymujemy

\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I(a)^2 < \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta

Stąd już prosto mamy, iż

 \pi (1-e^{-a^2}) < I(a)^2 < \pi (1 - e^{-2a^2}) .

Używając twierdzenia o trzech ciągach możemy wywnioskować, że

\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}

Powyższa całka (nazywana też całką Gaussa) jest jedną z całek często wykorzystywanych w fizyce i statystyce. Często podaje ją się w następującej formie

\int\limits_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=ac\sqrt{\pi}.

Tę ostatnią formułę otrzymujemy przez przeniesienie a przed znak całki, podstawienie u=x-b a potem podstawienie w=u/c jak następuje:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-u^2/c^2}du=ac\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-w^2}dw=ac\sqrt{\pi}.

Funkcja niecałkowalna[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy całki

A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx oraz B=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy.

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że A=-B. Pokażemy, że A\neq 0, a więc także A\neq B.

Do obliczenia całki

\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy

użyjemy podstawienia trygonometrycznego y=x\operatorname{tg}(\theta). Tak więc

dy=x\sec^2(\theta)\,d\theta oraz x^2+y^2=x^2+x^2\operatorname{tg}^2(\theta)=x^2(1+\operatorname{tg}^2(\theta))=x^2\sec^2(\theta).

Granice całkowania 0\leqslant y\leqslant 1 dają nam 0\leqslant x\operatorname{tg}(\theta)\leqslant 1 czyli 0\leqslant\operatorname{tg}(\theta)\leqslant 1/x, a stąd 0\leqslant\theta\leqslant\arctan(1/x). Zatem

\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=
\int\limits_0^{\arctan(1/x)}
\frac{x^2(1-\operatorname{tg}^2(\theta))}{(x^2\sec^2(\theta))^2}
x\sec^2(\theta)\,d\theta

=\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)}
\frac{1-\operatorname{tg}^2(\theta)}{\sec^2(\theta)}\,d\theta
=\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)}
\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\,d\theta

=\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \cos(2\theta)\,d\theta

=\frac{1}{x}\left[\frac{\sin(2\theta)}{2}
\right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)}
=\frac{1}{x}\left[\sin(\theta)\cos(\theta)
\right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)}

=\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x)).

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

\sin(\arctan(1/x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} oraz \cos(\arctan(1/x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.

Zatem

\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x))=\frac{1}{1+x^2}.

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\int\limits_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx

=\left[\arctan(x)\right]_0^1=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}.

Tak więc

A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\frac{\pi}{4} oraz B=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy=-\frac{\pi}{4}.

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji f:[0,1]\times[0,1]\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb R}:(x,y)\mapsto \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}. Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue'a). I rzeczywiście,

\int\limits_{[0,1]\times [0,1]}\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|\,d (x,y)=\infty.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]