Twierdzenie Fubiniego

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że $f:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb {R} }$ jest funkcją ciągłą. Wówczas

$\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dxdy$.

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzenia

Niech $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ i $(Y,{\mathcal {G}},\nu )$ będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech $\lambda =\mu \otimes \nu$ będzie miarą produktową.

• Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja $h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb {R} }$ jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:

(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),

(b) jeśli dla $x\in X$ położymy $f(x)=\int \limits _{Y}h(x,y)d\nu$ a dla $y\in Y$ określimy $g(y)=\int \limits _{X}h(x,y)d\mu$, to otrzymane funkcje $f:X\longrightarrow {\mathbb {R} }$ i $g:Y\longrightarrow {\mathbb {R} }$ są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz

$\int \limits _{X\times Y}h\ d\lambda =\int \limits _{X}f\ d\mu =\int \limits _{Y}g\ d\nu$.

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

• Przypuśćmy, że $E\subseteq X\times Y$ jest zbiorem mierzalnym (tzn $E\in {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}}$). Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) $\lambda (E)=0\,$,

(ii) $\mu \left(\left\{x\in X:\nu (\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$,

(iii) $\nu \left(\left\{y\in Y:\mu (\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$.

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

Przykłady

Zastosowanie do obliczenia całki Gaussa

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

$I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}{\rm {d}}x.$

Gdyby było wiadomo, że całka

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x$

jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy

$\lim _{a\to \infty }I(a)$

tj. całce

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x.$

Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie

$\int _{-\infty }^{\infty }|e^{-x^{2}}|\,{\rm {d}}x<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x<\infty .$

Podnosząc $I(a)$ do kwadratu otrzymujemy

${\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,{\rm {d}}y\right)\\&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,{\rm {d}}y\right)\,e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x\\&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}x.\end{aligned}}$

Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce

$\iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,{\rm {d}}(x,y),$

tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)}.

Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji $e^{-(x^{2}+y^{2})}$ po dowolnym kole zawartym w kwadracie $[-a,a]\times [-a,a]$ nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie. Stosując współrzędne biegunowe:

${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}$

$\mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}$

$d(x,y)=|J(r,\theta )|{\rm {d}}(r,\theta )=r\,{\rm {d}}(r,\theta ).$

do całek po kołach otrzymujemy nierówność

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,{\rm {d}}r\,{\rm {d}}\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,{\rm {d}}r\,{\rm {d}}\theta .$

Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:

$\pi (1-e^{-a^{2}})<I^{2}(a)<\pi (1-e^{-2a^{2}}).$

Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,{\rm {d}}x={\sqrt {\pi }}.$

Funkcja niecałkowalna

Rozważmy całki

$A=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy\,dx$ oraz $B=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dx\,dy.$

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że $A=-B$. Pokażemy, że $A\neq 0$, a więc także $A\neq B$.

Do obliczenia całki

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy$

użyjemy podstawienia trygonometrycznego $y=x\operatorname {tg} (\theta )$. Tak więc

$dy=x\sec ^{2}(\theta )\,d\theta$ oraz $x^{2}+y^{2}=x^{2}+x^{2}\operatorname {tg} ^{2}(\theta )=x^{2}(1+\operatorname {tg} ^{2}(\theta ))=x^{2}\sec ^{2}(\theta ).$

Granice całkowania $0\leqslant y\leqslant 1$ dają nam $0\leqslant x\operatorname {tg} (\theta )\leqslant 1$ czyli $0\leqslant \operatorname {tg} (\theta )\leqslant 1/x$, a stąd $0\leqslant \theta \leqslant \arctan(1/x).$ Zatem

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy=$

$\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}{\frac {x^{2}(1-\operatorname {tg} ^{2}(\theta ))}{(x^{2}\sec ^{2}(\theta ))^{2}}}x\sec ^{2}(\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}{\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}(\theta )}{\sec ^{2}(\theta )}}\,d\theta$

$={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}\cos(2\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\left[{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\right]_{\theta :=0}^{\theta =\arctan(1/x)}$

$={\frac {1}{x}}\left[\sin(\theta )\cos(\theta )\right]_{\theta :=0}^{\theta =\arctan(1/x)}={\frac {1}{x}}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x)).$

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

$\sin(\arctan(1/x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$ oraz $\cos(\arctan(1/x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$

Zatem

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy={\frac {1}{x}}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x))={\frac {1}{1+x^{2}}}.$

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

$A=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy\,dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-\arctan(0)={\frac {\pi }{4}}.$

Tak więc

$A=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy\,dx={\frac {\pi }{4}}$ oraz $B=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dx\,dy=-{\frac {\pi }{4}}.$

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji $f:[0,1]\times [0,1]\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {R} }:(x,y)\mapsto {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$. Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue'a). I rzeczywiście,

$\int \limits _{[0,1]\times [0,1]}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\,d(x,y)=\infty .$

Zobacz też

• Twierdzenie Fichtenholza-Lichtensteina,
• twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej,
• lemat Fatou.