Twierdzenie Gaussa-Wantzela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Liczby boków dla wszystkich wielokątów foremnych dających się skonstruować cyrklem i linijką, mniejsze od tysiąca:
3=20×3
4=22
5=20×5
6=21×3
8=23
10=21×5
12=22×3
15=20×3×5
16=24
17=20×17
20=22×5
24=23×3
30=21×3×5
32=25
34=21×17
40=23×5
48=24×3
51=20×3×17
60=22×3×5
64=26
68=22×17
80=24×5
85=20×5×17
96=25×3
102=21×3×17
120=23×3×5
128=27
136=23×17
160=25×5
170=21×5×17
192=26×3
204=22×3×17
240=24×3×5
255=20×3×5×17
256=28
257=20×257
272=24×17
320=26×5
340=22×5×17
384=27×3
408=23×3×17
480=25×3×5
510=21×3×5×17
512=29
514=21×257
544=25×17
640=27×5
680=23×5×17
768=28×3
771=20×3×257
816=24×3×17
960=26×3×5

Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli n jest liczbą postaci 2^k\cdot p_1\cdot p_2\dots\cdot p_s, gdzie p_1,\ p_2,\ \dots p_s,\ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537 i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

W szczególności we wzorze może być s=0 (wielokąty o liczbie boków będącą potęgą dwójki są konstruowalne) lub k=0 (twierdzenie obejmuje także wielokąty o nieparzystej liczbie boków). Tak więc, konstruowalne są m.in. pięciokąt (k=0,\ s=1,\ p_1=F_1) i sześciokąt foremny (k=1,\ s=1,\ p_1=F_0), ale już nie siedmiokąt.

Historia[edytuj | edytuj kod]

W starożytności matematycy potrafili konstruować za pomocą cyrkla i linijki n-kąty foremne dla n postaci 2^k,\ 3\cdot 2^k,\ 5\cdot 2^k i 3\cdot5\cdot2^k.

W roku 1796 Gauss skonstruował siedemnastokąt foremny[1], a w roku 1801 udowodnił, że warunek podany w twierdzeniu jest wystarczający dla przeprowadzenia konstrukcji. Przypuszczał też, że jest to warunek konieczny, jednak dowodu nie podał. W roku 1837 wykazał to Pierre Wantzel.

257-kąt foremny skonstruowano w 1832 roku. Sposób konstrukcji klasycznej 65537-kąta foremnego po raz pierwszy opublikował nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes w 1894. Sama konstrukcja zajmuje 200 stron, Hermes pracował nad nią przez 10 lat.

Związek z trójkątem Pascala[edytuj | edytuj kod]

Jedynymi znanymi konstruowalnymi wielokątami foremnymi o nieparzystej liczbie boków są te, których liczba boków jest dzielnikiem 2^{32}-1=3 \cdot 5 \cdot\ 17 \cdot 257 \cdot 65537, tj. 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, ..., 4294967295 (z wyjątkiem 1). William Watkins zauważył, że liczby tego ciągu zapisane w systemie binarnym, znajdują się w pierwszych 32 wierszach trójkąta Pascala mod 2:

         1 = 1
         3 = 11
         5 = 101
        15 = 1111
        17 = 10001
        51 = 110011
        85 = 1010101
       255 = 11111111
       257 = 100000001
       771 = 1100000011
      1285 = 10100000101
      3855 = 111100001111
      4369 = 1000100010001
     13107 = 11001100110011
     21845 = 101010101010101
     65535 = 1111111111111111
     65537 = 10000000000000001
    196611 = 110000000000000011
    327685 = 1010000000000000101
    983055 = 11110000000000001111
   1114129 = 100010000000000010001
   3342387 = 1100110000000000110011
   5570645 = 10101010000000001010101
  16711935 = 111111110000000011111111
  16843009 = 1000000010000000100000001
  50529027 = 11000000110000001100000011
  84215045 = 101000001010000010100000101
 252645135 = 1111000011110000111100001111
 286331153 = 10001000100010001000100010001
 858993459 = 110011001100110011001100110011
1431655765 = 1010101010101010101010101010101
4294967295 = 11111111111111111111111111111111

Następny wiersz w tym ciągu, 4294967297, jest kolejną liczbą Fermata: F5 = 232 + 1. Ponieważ jednak nie jest ona liczbą pierwszą (4294967297 = 641 · 6700417), nie można skonstruować wielokąta o takiej liczbie boków.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Witold Więsław: Matematyka i jej historia. Opole: Wydawnictwo NOWIK, 1997. ISBN 83-905456-7-5.
  2. John H. Conway, Richard K. Guy: Księga liczb. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2366-X.

Przypisy

  1. Konstrukcja jest przedstawiona na stronie [1]