Twierdzenie Gerszgorina

Twierdzenie Gerszgorina – twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na wartości własne macierzy o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia białoruskiego, Siemiona Gerszgorina.

Treść twierdzenia oraz dowód

Niech $A$ będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze $n\times n$ z elementami $(a_{ij}).$ Dla $i\in \{1,\dots n\}$ niech $R_{i}=\Sigma _{j\neq i}|a_{ij}|$ gdzie $|a_{ij}|$ oznacza moduł z liczby $a_{ij}.$ Niech $D(a_{ii},R_{i})$ będzie domkniętym kołem o środku w $a_{ii}$ i promieniu $R_{i}.$ Takie koła są nazywane kołami Gerszgorina.

Twierdzenie Gerszgorina: każda wartość własna macierzy $A$ leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół $D(a_{ii},R_{i}).$

Dowód: Niech $\lambda$ będzie wartością własną $A$ oraz $\mathbf {x} =(x_{j})$ odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech $i\in \{1,\dots n\}$ będzie takie, iż $|x_{i}|=\max {}_{j}|x_{j}|.$ Wtedy $|x_{i}|>0,$ gdyż w przeciwnym wypadku $\mathbf {x} =0,$ co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$ lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):

$\sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}\quad \forall i\in \{1,\dots ,n\}$

obustronnie odejmując $a_{ii}x_{i}$ dostajemy:

$\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}-a_{ii}x_{i}.$

I dzielimy obustronnie przez $x_{i}$ (z wyboru i wiemy, że $x_{i}\neq 0$), a także obkładamy modułami:

$|\lambda -a_{ii}|=\left|{\frac {\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leqslant \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i}.$

Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku $|x_{i}|=\max {}_{j}|x_{j}|$ mamy

$\left|{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leqslant 1\quad \forall j\neq i.$

□

Ponieważ wartości własne macierzy $A^{\mathrm {T} }$ są takie same jak macierzy $A,$ twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy $A$ muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy $A$ i sumy kół dla macierzy $A^{\mathrm {T} }.$

W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.

Bibliografia

• S. Gerschgorin, Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, „Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk” 7 (1931), s. 749–754.
• R.S. Varga, Geršgorin and His Circles, Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21100-4. Errata.
• Andrzej Turowicz, Geometria zer wielomianów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Gershgorin Circle Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• Semyon Aranovich Gershgorin biography at MacTutor