Twierdzenie Greena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy twierdzenia w analizie matematycznej. Zobacz też: twierdzenie w teorii półgrup.
Niech D będzie obszarem normalnym, takim że x \in [a,b] oraz g_1(x) < y < g_2(x), wtedy brzeg D możemy podzielić na krzywe gładkieC_1, C_2, C_3, C_4, co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena to matematyczne twierdzenie sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George'a Greena. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa.

Treść twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcje P i Q są klasy C^1 wewnątrz obszaru regularnego D, krzywa regularna K jest brzegiem obszaru D i jest zorientowana dodatnio, to:

\int\limits_K {(P dx + Q dy)}=\iint\limits_D \left ( {\partial Q \over \partial x} - {\partial P \over \partial y}\right ) dx\,dy

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa K jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

\oint\limits_K {(P dx + Q dy)}=\iint\limits_D \left ( {\partial Q \over \partial x} - {\partial P \over \partial y}\right ) dx\,dy

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech D będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc \bar{D}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\,\colon \, x\in [a,b] \wedge \, y \in [g_1(x), g_2(x)] \}.

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych C_1, C_2, C_3, C_4:

C_1=\{(t, g_1(t))\colon \, t\in[a,b]\}
C_2=\{(b, t)\colon \, t\in[g_1(b), g_2(b)]\}
C_3=\{(-t, g_2(-t))\colon \, t\in[-b,-a]\}
C_2=\{(a, -t)\colon \, t\in[-g_1(a), -g_2(a)]\}

Wówczas dx = dt dla C_1, dx = -dt dla C_3 oraz dx = 0 dla C_2, C_4

Tak więc dla składowej P pola wektorowego otrzymujemy:

\oint\limits_K Pdx = \int\limits_{C_1} Pdx + \int\limits_{C_3} Pdx = \int\limits_{a}^{b} P(t, g_1(t))dt + \int\limits_{-b}^{-a} P(-t, g_2(-t))(-dt) = \int\limits_{a}^{b} (P(t, g_1(t)) - P(t, g_2(t)))dt

Zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik -\frac{\partial P}{\partial y}:

\iint \limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) dx\, dy = \int\limits_{a}^{b} dx \int\limits_{g_1(x)}^{g_2(x)} -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) dy

Stosując Twierdzenie Newtona-Leibniza otrzymujemy:

\iint \limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) dx\, dy = \int\limits_{a}^{b} (P(t, g_1(t)) - P(t, g_2(t)))dt

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej Q

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.