Twierdzenie Hahna-Kołmogorowa

Twierdzenie Hahna-Kołmogorowa – twierdzenie teorii miary umożliwiające skonstruowanie miary przez uprzednie zdefiniowanie przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów (o nieujemnych wartościach rzeczywistych znikającej na zbiorze pustym) na względnie małej algebrze zbiorów, gdzie stosunkowo łatwo jest zapewnić σ-addytywność, a następnie rozszerzenie jej za pomocą tego twierdzenia na potencjalnie dużo większą σ-algebrę; jeżeli funkcja przeliczalnie addytywna jest σ-skończona, to istnieje dokładnie jedno takie rozszerzenie.

Twierdzenia tego jako pierwszy dowiódł Maurice Fréchet, jednak nie korzystał on z twierdzenia Carathéodory'ego. Współczesny dowód przedstawili równocześnie Hans Hahn i Andriej Kołmogorow. Z tego powodu w literaturze twierdzenie to opatrywane bywa nazwiskiem Hahna (nie mylić z twierdzeniem Hahna o rozkładzie) lub Hahna-Kołmogorowa. Często nie przypisuje mu się jednak nazwiska i nazywa po prostu twierdzeniem o rozszerzeniu; w związku z tym zdarza się, że bywa ono łączone z twierdzeniem Carathéodory'ego.

Twierdzenie

Niech $\mathcal F$ będzie algebrą podzbiorów zbioru $X$ oraz niech $\mu_0\colon \mathcal F \to [0, \infty]$ będzie σ-addytywną funkcją zbiorów spełniającą warunek $\mu_0(\varnothing) = 0.$

Jeżeli $\sigma(\mathcal F)$ oznacza najmniejszą σ-algebrę podzbiorów zbioru $X,$ która zawiera $\mathcal F,$ to istnieje miara $\mu$ określona na $\sigma(\mathcal F)$ o tej własności, że

$\mu(A) = \mu_0(A)$ dla każdego $A \in \mathcal F.$

Jeżeli istnieje taka rodzina przeliczalna $\mathcal R \subseteq \mathcal F,$ że

$\bigcup \mathcal R = X$

oraz

$\mu_0(A) < \infty$ dla każdego $A \in \mathcal R,$

to rozszerzenie $\mu$ funkcji $\mu_0$ do miary jest wyznaczone jednoznacznie.

Dowód

Dowód podzielony jest na dwie części. W pierwszej wykazuje się istnienie miary zewnętrznej skonstruowanej z przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów, co umożliwia skorzystanie z twierdzenia Carathéodory'ego, a następnie sprawdzenie, iż miara zewnętrzna zawężona do $\mathfrak A$ jest równa $\mu_0$ oraz, iż elementy $\mathfrak A$ są mierzalne. Druga część ustanawia jedyność rozszerzenia w przypadku, gdy $\mu_0$ jest σ-skończona.

Istnienie

Miara zewnętrzna i twierdzenie Carathéodory'ego

Funkcja $\mu^*\colon \mathcal P(X) \to [0, \infty],$ gdzie $\mathcal P(X)$ oznacza zbiór potęgowy zbioru $X,$ skonstruowana z $\mu_0$ jest postaci

$\mu^*(E) := \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i)\colon \{A_i\}_{i=1}^\infty \subseteq \mathfrak A,\; E \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty A_i\right\}$

i ma wszystkie własności miary zewnętrznej (monotoniczność, przeliczalną podaddytywność i znikanie na zbiorze pustym). Z twierdzenia Carathéodory'ego istnieje przestrzeń mierzalna zupełna $(X, \mathfrak M, \mu),$ gdzie

$\mathfrak M := \bigl\{B \subseteq X\colon \mu^*(E) = \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c) \quad \forall_{E \subseteq X}\bigr\}$

jest σ-algebrą zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory'ego (spełniających warunek Carathéodory'ego), a $\mu$ zawężeniem $\mu^*$ do $\mathfrak M.$

Poprawność rozszerzenia

Niżej zostanie wykazane, że dla dowolnego $A$ należącego do $\mathfrak A$ jest

$\mu_0(A) = \mu^*(A) := \inf\Bigg\{\sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i)\colon \{A_i\}_{i \in \mathbb N} \subseteq \mathfrak A$ jest przeliczalnym pokryciem zbioru $A\Bigg\}.$

W szczególności dla rodziny $\{A, \varnothing, \varnothing, \dots\}$ zachodzi

$\mu^*(A) \leqslant \mu_0(A).$

Niech rodzina $\{A_i\}$ podzbiorów $\mathfrak A$ pokrywa zbiór $A.$ Nierówność w drugą stronę uzyskuje się rozbijając $\mu_0(A)$ w szereg za pomocą rodziny zbiorów rozłącznych związanych z $\{A_i\}$ korzystając z σ-addytywności $\mu_0,$ skąd łatwo wyprowadzić żądaną tezę. Z każdą rodziną $\{A_i\}$ można związać rodzinę $\{B_i\}$ parami rozłącznych zbiorów taką, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ suma pierwszych $n$ zbiorów $A_i$ jest równa sumie pierwszych $n$ zbiorów $B_i.$ Wspomnianą rodzinę otrzymuje się oznaczając $B_i := A_i \setminus (A_{i-1} \cup \dots \cup A_1).$ Jak już wspomniano, suma wszystkich $B_i$ zawiera $A,$ dlatego

$\mu_0(A) = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty (A \cap B_i)\right) = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A \cap B_i) \leqslant \sum_{i=1}^\infty \mu_0(B_i) \leqslant \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i),$

gdzie nierówności wynikają z monotoniczności $\mu_0.$ Ponieważ dotyczy to także $\{A_i\} \subseteq \mathfrak A$ pokrywajacej $A,$ to

$\mu_0(A) \leqslant \mu^*(A).$

Zawieranie

Dowiedzenie, iż $A \in \mathfrak A$ należy do $\mathfrak M$ oznacza wykazanie, iż

$\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c)$

dla dowolnego zbioru $E \subseteq X.$ W związku z tym należy przybliżyć $\mu^*(E)$ za pomocą rodziny $\{A_i\} \subseteq \mathfrak A$ pokrywającej $E,$ którą to właśnie, zamiast $E,$ należy rozbić korzystając z addytywności $\mu_0.$ Dokładniej, dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje pokrycie $\{A_i\}$ zbioru $E$ takie, że

$\mu^*(E) + \varepsilon \geqslant \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i \cap A) + \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i \cap A^\operatorname c) \geqslant \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c),$

gdzie równość wynika z zapisania $A_i$ jako $(A_i \cap A) \cup (A_i \cap A^\operatorname c)$ i skorzystania z addytywności $\mu_0,$ podczas gdy drugą nierówność uzyskuje się zauważając, że $E \cap A$ stanowi pokrycie $\{A_i \cap A\};$ podobnie ma się rzecz dla $E \cap A^\operatorname c.$ Z dowolności $\varepsilon$ wynika, iż

$\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c).$

Nierówność w drugą stronę wynika z podaddytywności $\mu^*:$

$\mu^*(E) = \mu^*\bigl((E \cap A) \cup (E \cap A^\operatorname c)\bigr) \leqslant \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c).$

Podsumowanie

Wychodząc od $\mu_0$ skonstruowano miarę zewnętrzną $\mu^*,$ która zawężona σ-algebry $\mathfrak M$ staje się miarą $\mu.$ Wykazano, że algebra $\mathfrak A$ zawiera się w $\mathfrak M,$ a miara $\mu$ dla wszystkich elementów $\mathfrak A$ pokrywa się z będącą jej początkiem przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów $\mu_0.$ Aby zakończyć pierwszą część twierdzenia należy zauważyć, że $\sigma(\mathfrak A)$ jest najmniejszą σ-algebrą zawierajacą $\mathfrak A,$ zaś $\mathfrak A \subseteq \mathfrak M,$ co daje $\sigma(\mathfrak A) \subseteq \mathfrak M.$ Zatem, nadużywając notacji poprzez dalsze oznaczanie za pomocą $\mu$ miary określonej na $\mathfrak M$ jej zawężenia do $\sigma(\mathfrak A),$ można powiedzieć, iż $\bigr(X, \sigma(\mathfrak A), \mu\bigr)$ jest poszukiwaną przestrzenią mierzalną.

Należy wspomnieć, iż w ogólności choć $(X, \mathfrak M, \mu)$ jest zupełna (część twierdzenia Carathéodory'ego), to przestrzeń $\bigr(X, \sigma(\mathfrak A), \mu\bigr)$ nie musi taka być: ważnym przykładem jest, gdy $\sigma(\mathfrak A)$ jest σ-algebrą borelowską na $\mathbb R^n,$ zaś $\mu$ to miara Lebesgue'a.

Jedyność

Niżej zakłada się, że $\mu_0$ jest σ-skończona.

Niech $\nu$ będzie miarą na $\sigma(\mathfrak A)$ będącą rozszerzeniem $\mu_0,$ podczas gdy $\mu$ dalej będzie oznaczać miarę, także na $\sigma(\mathfrak A),$ skonstruowaną jak wyżej. Wykazaniu równości tych miar przysłuży się skorzystanie z σ-skończoności, co umożliwi pracę w przestrzeni o mierze skończonej. Niech $\{A_i\} \subseteq \mathfrak A$ będzie rodziną zbiorów miary skończonej o sumie równej $X.$ Można założyć, że $A_i$ są parami rozłączne, gdyż można rozważać rodzinę rodzinę $\{B_i\}$ daną wzorem $B_i := A_i \setminus (A_{i-1} \cup \dots \cup A_1).$ Miary dają tę samą wartość na zbiorze mierzalnym $A,$ jeżeli zgadzają się na wszystkich przekrojach $A \cap A_i,$ co w tym przypadku oznacza, iż

$\mu(A) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty \nu(A \cap A_i) = \nu(A).$

Wystarczy więc dowieść, że jeśli $B \in \mathfrak A$ jest miary skończonej i $A \in \sigma(\mathfrak A)$ zawiera się w $B,$ to $\mu(A) = \nu(A).$ Aby porównać wspomniane miary należy rozważyć rodzinę $\{C_i\} \subseteq \mathfrak A$ stanowiącą pokrycie $A,$ wówczas

$\nu(A) \leqslant \sum_{i=1}^\infty \nu(C_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(C_i),$

skąd $\nu(A) \leqslant \mu(A),$ gdyż nierówność zachodzi dla dowolnego pokrycia $\{C_i\} \subseteq \mathfrak A$ zbioru $A,$ zaś $\mu(A)$ jest kresem dolnym wyrazów po prawej stronie. Ponadto $\nu(B \setminus A) \leqslant \mu(B \setminus A).$ Ponieważ $B$ należy do $\mathfrak A,$ a jego rozbiciem jest $(B \setminus A) \cup A,$ to

$\mu(B) = \nu(B) = \nu(B \setminus A) + \nu(A) \leqslant \nu(B \setminus A) + \mu(A) \leqslant \mu(B),$

a stąd

$\nu(B \setminus A) + \nu(A) = \nu(B \setminus A) + \mu(A) \Rightarrow \nu(A) = \mu(A).$

Konieczność założenia σ-skończoności

Jeżeli $\mu_0$ nie jest σ-skończona, to rozszerzenie nie musi być wyznaczone jednoznacznie, nawet jeśli jest ono σ-skończone.

Niech $X$ oznacza $\mathbb Q \cap [0, 1),$ zaś $\mathfrak A$ oznacza algebrę wszystkich skończonych sum wymiernych przedziałów domknięto-otwartych zawartych w $X.$ Można dowieść, że $\mathfrak A$ jest algebrą, a każdy niepusty zbiór w $\mathfrak A$ jest nieskończony.

Niech $\mu_0$ będzie funkcją liczącą $\#$ zbiorów określoną na $\mathfrak A.$ Funkcja $\mu_0$ jest skończenie addytywna i σ-addytywna na $\mathfrak A.$ Ponieważ każdy niepusty zbiór należący do $\mathfrak A$ jest nieskończony, jego miara $\mu_0(A) = +\infty.$

Niech $\sigma(\mathfrak A)$ będzie σ-algebrą generowaną przez $\mathfrak A.$ Można sprawdzić, że $\sigma(\mathfrak A)$ jest zbiorem wszystkich podzbiorów $X$ i obie funkcje $\#$ oraz $2\#$ są σ-skończonymi miarami określonymi na tej σ-algebrze będącymi rozszerzeniami $\mu_0.$

Bibliografia

• Vladimir Bogachev: Measure theory. T. 1. Berlin: Springer, 2006. ISBN 3-540-34513-2. (ang.)
• Gerald Folland: Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Nowy Jork: John Wiley & Sons, 1999. ISBN 0-471-31716-0. (ang.)
• Serge Lang: Real and Functional Analysis. Nowy Jork: Springer, 1993. ISBN 0-387-94001-4. (ang.)