Twierdzenie Hahna o rozkładzie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Hahna o rozkładzie – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące o możliwości rozbicia przestrzeni mierzalnej, na której określona jest przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka, Hansa Hahna.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \mathcal A jest σ-ciałem podzbiorów zbioru X \, oraz \lambda\colon \mathcal A \to \mathbb R jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to istnieje rozkład nazywany rozkładem Hahna dla funkcji \lambda \,, tzn. istnieją takie zbiory  A, B \, rozłączne, że

X=A\cup B

oraz, gdy E \in \mathcal A to A \cap E, B \cap E \in \mathcal A, a ponadto

\lambda(A \cap E) \leqslant 0,\, \lambda(B \cap E)\geqslant 0 .

Kanoniczny rozkład Jordana[edytuj | edytuj kod]

Ważnym zastosowaniem istnienia rozkładu Hahna dla przeliczalnie addytywnych funkcji zbiorów jest tzw. twierdzenie o kanonicznym rozkładzie Jordana, mówiące o tym, że każda funkcja \lambda \,, taka jak w sformułowaniu twierdzenia o rozkładzie Hahna, daje się zapisać w postaci

\lambda=\lambda^+-\lambda^- , \,

gdzie funkcje \lambda^+, \lambda^- \,, nazywane odpowiednio wahaniem górnym i dolnym funkcji \lambda \,, określone są wzorami:

\lambda^+(E)=\sup\{\lambda(F)\colon F\subseteq E, F\in \mathcal{A}\} ,
\lambda^-(E)=\sup\{-\lambda(F)\colon F\subseteq E, F\in \mathcal{A}\}

dla E\in \mathcal{A} .

Funkcję |\lambda| \, daną wzorem

|\lambda|=\lambda^++\lambda^- \,

nazywamy wahaniem całkowitym funkcji \lambda \,. Każde z wahań \lambda^+, \lambda^-, |\lambda| \, jest miarą i przynajmniej jedno z wahań (górne lub dolne) jest miarą skończoną.

Jeżeli zbiory A,B\subset X tworzą rozkład Hahna zbioru X \, względem \lambda \,, to dla każdego E\in \mathcal{A}:

\lambda^+(E)=\lambda(A\cap E) ,
\lambda^-(E)=-\lambda(B\cap E) .

Jeśli \lambda \, jest funkcją skończoną (σ-skończoną), to każde z wahań jest miarą skończoną (σ-skończoną). Kanoniczny rozkład Jordana funkcji \lambda \, jest w pewnym sensie minimalny. Dokładniej, jeśli \lambda \, daje się przedstawić w postaci różnicy dwóch funkcji \mu \, i \nu \,, tzn. \lambda=\mu-\nu \, dla pewnych \mu \, i \nu \,, to

\lambda^+\leqslant \mu oraz \lambda^-\leqslant \nu .

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 188-190.
  2. Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 120-123. ISBN 0-387-90088-8.