Twierdzenie Heinego-Cantora

Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

Dowód.

Niech $f:X\to Y$ będzie funkcją ciągłą działającą z przestrzeni zwartej $(X,\varrho)$ w przestrzeń metryczną $(Y,\sigma)$. Ustalmy $\varepsilon>0$.

Z ciągłości $f$ dla każdego $x\in X$ istnieje liczba $\delta_x>0$ taka, że $\sigma(f(x),f(y))<\varepsilon/2$ dla każdego $y$ z kuli $K(x,\delta_x)$.

Na mocy zwartości $X$ z pokrycia $\{K(x,\delta_x):x\in X\}$ można wybrać podpokrycie skończone $K(x_1,\delta_{x_1}),\dots, K(x_k,\delta_{x_k})$.

Niech $\delta=\frac12\min\{\delta_{x_1},\dots,\delta_{x_k}\}$. Wówczas dla dowolnych $x,y\in X$ takich, że $\varrho(x,y)<\delta$, istnieje punkt $x_i$ taki, że $x,y\in K(x_i,\delta_{x_i})$. Zatem $\sigma(f(x),f(y))\leq\sigma(f(x),f(x_i))+\sigma(f(y),f(x_i))<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$.
To dowodzi, że $f:X\to Y$ jest jednostajnie ciągła. $\;_\square$