Twierdzenie Heinego-Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

Dowód.

Niech f:X\to Y będzie funkcją ciągłą działającą z przestrzeni zwartej (X,\varrho) w przestrzeń metryczną (Y,\sigma). Ustalmy \varepsilon>0.

Z ciągłości f dla każdego x\in X istnieje liczba \delta_x>0 taka, że \sigma(f(x),f(y))<\varepsilon/2 dla każdego y z kuli K(x,\delta_x).

Na mocy zwartości X z pokrycia \{K(x,\delta_x):x\in X\} można wybrać podpokrycie skończone K(x_1,\delta_{x_1}),\dots, K(x_k,\delta_{x_k}).

Niech \delta=\frac12\min\{\delta_{x_1},\dots,\delta_{x_k}\}. Wówczas dla dowolnych x,y\in X takich, że \varrho(x,y)<\delta, istnieje punkt x_i taki, że x,y\in K(x_i,\delta_{x_i}). Zatem \sigma(f(x),f(y))\leq\sigma(f(x),f(x_i))+\sigma(f(y),f(x_i))<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.
To dowodzi, że f:X\to Y jest jednostajnie ciągła. \;_\square