Twierdzenie Hilberta o zerach

Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.

Sformułowanie

W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.

Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:

Niech $k$ będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny $I \triangleleft k[x_1, \ldots, x_n]$ jest postaci $I = (x_1 - a_1, x_2 - a_2, \ldots, x_n - a_n)$ dla pewnych $a_1, \ldots, a_n \in k$

Dla $S \subseteq k^n$, oznaczmy $I(S) = \{ f \in k[x_1, \ldots, x_n]: \forall s \in S \quad f(s) = 0 \}$. Mocny Nullstellensatz mówi:

Jeżeli $J \triangleleft k[x_1, \ldots, x_n]$ jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to $I(V(J)) = \sqrt{J}$, gdzie $\sqrt{J}$ oznacza radykał ideału $J$, zatem funkcje $I, V$ są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy ideałami radykalnymi a rozmaitościami algebraicznymi.

Związek pomiędzy algebrą a geometrią

Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych $n$ zmiennych $f_1(x_1, \ldots, x_n) = 0, f_2(x_1, \ldots, x_n) = 0, \ldots, f_k(x_1, \ldots, x_n) = 0$ ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał $I = (f_1, \ldots, f_k)$ nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym $\mathfrak{m}$, który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci $\mathfrak{m} = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)$ dla pewnych $a_1, \ldots, a_n$. Ponieważ $f_i \in I \subseteq \mathfrak{m}$, otrzymujemy, że $f_i = (x_1-a_1)g_{i1} + (x_2 - a_2) g_{i2} + \ldots + (x_n - a_n) g_{in}$, dla pewnych $g_{ij} \in k[x_1, \ldots, x_n]$ a wtedy oczywiście $f_i(a_1, \ldots, a_n) = 0$, co oznacza, że punkt $(a_1, \ldots, a_n)$ jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów $f_1, \ldots, f_k$.

Oznaczając przez $V(I) = \{ (u_1, \ldots, u_n) \in k^n: \forall f \in I \, f(u_1, u_2, \ldots, u_n) = 0\}$ zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału $I$, otrzymujemy, że $I \ne k[x_1, \ldots, x_n] \Rightarrow V(I) \ne \emptyset$, czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli $I \triangleleft k[x_1, \ldots, x_n]$ jest ideałem maksymalnym, to $V(I) \ne \emptyset$ oznacza, że pewien punkt $(a_1, \ldots, a_n) \in V(I)$, czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu $\phi: k[x_1, \ldots, x_n] \to k, \phi(x_i) = a_i$, ale I jest ideałem maksymalnym, zatem $I = \ker \phi$. Z drugiej strony, $x_i - a_i \in \ker \phi$, oraz ideał $(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \subseteq \ker \phi$ jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem $I = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)$.

Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej $k^n$ odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu $I \triangleleft k[x_1, \ldots, x_n]$.

Zobacz też

• twierdzenie Hilberta o bazie

Bibliografia

1. Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7.