Twierdzenie Hilberta o zerach

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.

Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:

Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny I \triangleleft k[x_1, \ldots, x_n] jest postaci I = (x_1 - a_1, x_2 - a_2, \ldots, x_n - a_n) dla pewnych a_1, \ldots, a_n \in k

Dla S \subseteq k^n, oznaczmy I(S) = \{ f \in k[x_1, \ldots, x_n]: \forall s \in S \quad f(s) = 0 \}. Mocny Nullstellensatz mówi:

Jeżeli J \triangleleft k[x_1, \ldots, x_n] jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to I(V(J)) = \sqrt{J}, gdzie \sqrt{J} oznacza radykał ideału J, zatem funkcje I, V są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy ideałami radykalnymi a rozmaitościami algebraicznymi.

Związek pomiędzy algebrą a geometrią[edytuj | edytuj kod]

Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych n zmiennych f_1(x_1, \ldots, x_n) = 0, f_2(x_1, \ldots, x_n) = 0, \ldots, f_k(x_1, \ldots, x_n) = 0 ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał I = (f_1, \ldots, f_k) nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym \mathfrak{m}, który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci \mathfrak{m} = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) dla pewnych a_1, \ldots, a_n. Ponieważ f_i \in I \subseteq \mathfrak{m}, otrzymujemy, że f_i = (x_1-a_1)g_{i1} + (x_2 - a_2) g_{i2} + \ldots + (x_n - a_n) g_{in}, dla pewnych g_{ij} \in k[x_1, \ldots, x_n] a wtedy oczywiście f_i(a_1, \ldots, a_n) = 0, co oznacza, że punkt (a_1, \ldots, a_n) jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów f_1, \ldots, f_k.

Oznaczając przez V(I) = \{ (u_1, \ldots, u_n) \in k^n: \forall f \in I \, f(u_1, u_2, \ldots, u_n) = 0\} zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału I, otrzymujemy, że I \ne k[x_1, \ldots, x_n] \Rightarrow V(I) \ne \emptyset, czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli I \triangleleft k[x_1, \ldots, x_n] jest ideałem maksymalnym, to V(I) \ne \emptyset oznacza, że pewien punkt (a_1, \ldots, a_n) \in V(I), czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu \phi: k[x_1, \ldots, x_n] \to k, \phi(x_i) = a_i, ale I jest ideałem maksymalnym, zatem I = \ker \phi. Z drugiej strony, x_i - a_i \in \ker \phi, oraz ideał (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \subseteq \ker \phi jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem I = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n).

Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej k^n odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu I \triangleleft k[x_1, \ldots, x_n].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7.