Twierdzenie Jegorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Jegorowatwierdzenie teorii miary mówiące, że każdy ciąg mierzalnych rzeczywistych funkcji prawie wszędzie skończonych określonych na wspólnej przestrzeni z miarą skończoną, który jest zbieżny prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej, jest do niej zbieżny prawie jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Dimitria Jegorowa.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech (\Omega, \mathcal{F}, \mu) będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz (f_n) będzie ciągiem prawie wszędzie skończonych funkcji mierzalnych określonych na \Omega, zbieżnym prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej f. Niech ponadto dla dowolnych liczb naturalnych k i n zdefiniowany będzie zbiór

B_{k,n} := \bigcap_{l=n}^\infty \Big\{x \in \Omega\colon \bigl|f_l(x) - f(x)\bigr| < \tfrac{1}{k}\Big\}.

Przy dowolnych liczbach naturalnych k i l zachodzi inkluzja

B_{k,n}\subseteq B_{k, n+1}.

Ciąg (f_n) jest zbieżny prawie wszędzie do f, skąd dla każdego k

\lim_{n\to \infty}\mu(\Omega\setminus B_{k,n})=\mu(\Omega\setminus \bigcup_{n\geq 1}B_{k,n}).

Z powyższego wynika, że dla każdej liczby \varepsilon>0 istnieje taka liczba naturalna n_k (zależna od \varepsilon i k), że dla każdego n\geq n_k spełniona jest nierówność

\mu(\Omega\setminus B_{k,n})<\frac{\varepsilon}{2^k}.

Zbiór

B=\bigcap_{k\geq 1}B_{k, n_k}

jest mierzalny oraz

\mu(\Omega\setminus B)=\mu(\bigcup_{k\geq 1}B_{k, n_k})\leq \sum_{k\geq 1}\mu(\Omega\setminus B_{k, n_k})\leq \sum_{k\geq 1}\frac{\varepsilon}{2^k}=\varepsilon.

Pierwsza z powyższych równości wynika z zastosowania prawa de Morgana (dla zbiorów). Z udowodnionej nierówności wynika, że ciąg funkcyjny (f_n) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na zbiorze B oraz, że

\mu(E)=\mu(\Omega)\,.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982., ISBN 0486640620, ss. 36-37.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]