Twierdzenie Kołmogorowa o ciągłości procesów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Kołmogorowa o ciągłości procesów - twierdzenie podające warunek wystarczający istnienia dla danego procesu stochastycznego jego tzw. ciągłej modyfikacji, to znaczy takiego procesu stochastycznego, którego wszystkie trajektorie są ciągłe oraz są prawie wszędzie równe odpowiednim trajektoriom wyjściowego procesu. Jednym z zastosowań twierdzenia Kołmogorowa o ciągłości procesów jest dowód istnienia procesu Wienera.

W niniejszym artykule wszystkie procesy stochastyczne określone są na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej (\Omega, \mathcal{A}, P). O zbiorze T zakładamy, że dana jest wraz z nim pewna ustalona topologia (najczęściej rozważa się przypadek, gdy T=[0,\infty) ze standardową topologią dziedziczoną z prostej.

Modyfikacje procesów[edytuj | edytuj kod]

Procesy stochastyczne X=(X_t)_{t\in T} i Y=(Y_t)_{t\in T} nazywamy (wzajemnymi) modyfikacjami, gdy dla każdego t\in T:

P(\{\omega \in \Omega\colon X_t(\omega)\neq Y_t(\omega)\})=0.

Modyfikację Y procesu X nazywamy ciągłą, gdy dla każdego \omega\in \Omega trajektoria

T\ni t \mapsto Y_t(\omega)

jest ciągła.

Twierdzenie Kołmogorowa[edytuj | edytuj kod]

Niech X=(X_t)_{t\geq 0} będzie procesem stochastycznym. Jeżeli dla każdej liczby r>0 istnieją stałe \alpha, \beta, C>0 takie, że

\mbox{E} \left[ | X_{t} - X_{s} |^{\alpha} \right] \leqslant C | t - s |^{1 + \beta}

dla wszystkich 0 \leqslant s, t \leqslant r, to istnieje ciągła modyfikacja procesu X.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Bernt K. Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin, 2003, s. 14. ISBN 3-540-04758-1.