Twierdzenie Kołmogorowa o ciągłości procesów

Twierdzenie Kołmogorowa o ciągłości procesów - twierdzenie podające warunek wystarczający istnienia dla danego procesu stochastycznego jego tzw. ciągłej modyfikacji, to znaczy takiego procesu stochastycznego, którego wszystkie trajektorie są ciągłe oraz są prawie wszędzie równe odpowiednim trajektoriom wyjściowego procesu. Jednym z zastosowań twierdzenia Kołmogorowa o ciągłości procesów jest dowód istnienia procesu Wienera.

W niniejszym artykule wszystkie procesy stochastyczne określone są na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. O zbiorze $T$ zakładamy, że dana jest wraz z nim pewna ustalona topologia (najczęściej rozważa się przypadek, gdy $T=[0,\infty)$ ze standardową topologią dziedziczoną z prostej.

Modyfikacje procesów

Procesy stochastyczne $X=(X_t)_{t\in T}$ i $Y=(Y_t)_{t\in T}$ nazywamy (wzajemnymi) modyfikacjami, gdy dla każdego $t\in T$:

$P(\{\omega \in \Omega\colon X_t(\omega)\neq Y_t(\omega)\})=0$.

Modyfikację $Y$ procesu $X$ nazywamy ciągłą, gdy dla każdego $\omega\in \Omega$ trajektoria

$T\ni t \mapsto Y_t(\omega)$

jest ciągła.

Twierdzenie Kołmogorowa

Niech $X=(X_t)_{t\geq 0}$ będzie procesem stochastycznym. Jeżeli dla każdej liczby $r>0$ istnieją stałe $\alpha, \beta, C>0$ takie, że

$\mbox{E} \left[ | X_{t} - X_{s} |^{\alpha} \right] \leqslant C | t - s |^{1 + \beta}$

dla wszystkich $0 \leqslant s, t \leqslant r$, to istnieje ciągła modyfikacja procesu $X$.

Bibliografia

• Bernt K. Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin, 2003, s. 14. ISBN 3-540-04758-1.