Twierdzenie Koebego-Bieberbacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Koebego-Bieberbacha (czasami nazywane też twierdzeniem Koebego 1/4) - twierdzenie analizy zespolonej, które zostało udowodnione przez Paula Koebe'go w 1907[1] oraz doprecyzowane przez Ludwiga Bieberbacha w pracy z roku 1916[2] (Bieberbach podał dokładnie ograniczenie górne stałej M w wypowiedzi twierdzenia poniżej).

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli f jest różnowartościową funkcją analityczną na kole jednostkowym płaszczyzny zespolonej, to obraz funkcji f zawiera koło o środku w punkcie f(0) i promieniu równym |f^\prime(0)|\cdot M, gdzie M=\tfrac{1}{4}. Oszacowania tego nie można poprawić, co można wykazać na przykładzie funkcji

f(z)=\frac{z}{(1-z)^2}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurve, Nachr. K. Ges. Wissenschaft. Göttingen Math. Phys. Kl., 2 (1907) ss. 191–210.
  2. L. Bieberbach, Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl. (1916) ss. 940–955.