Twierdzenie Kreina-Milmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zbiór wypukły oznaczony kolorem niebieskim wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi zaznaczonymi kolorem czerwonym.

Twierdzenie Kreina-Milmanatwierdzenie analizy funkcjonalnej sfomułowane w 1940 roku przez ukraińskich matematyków Marka Kreina i Davida Milmana; przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermelo-Fraenkela[1]:

Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

W szczególności \scriptstyle X może być przestrzenią unormowaną[2]. Pod nazwą „twierdzenie Kreina-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:

Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej \scriptstyle X^* do rzeczywistej przestrzeni unormowanej \scriptstyle X ma punkt ekstremalny.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Zbiór \scriptstyle S nazywa się zbiorem podpierającym zbioru \scriptstyle C \subseteq X, jeżeli \scriptstyle S jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym \scriptstyle C, dla którego należenie do \scriptstyle S pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w \scriptstyle C pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora \scriptstyle x^* \in X^* hiperpłaszczyzna

H = H(x^*) = \left\{x \in X\colon \langle x^*, x\rangle = \max_{x \in C}~\langle x^*, x\rangle\right\}

jest podpierająca. Niech \scriptstyle \mathcal S oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w \scriptstyle H uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny \scriptstyle \mathcal M w tej rodzinie. Przecięcie \scriptstyle \hat \mathcal S wszystkich zbiorów podpierających z \scriptstyle \mathcal M należy do \scriptstyle \mathcal M (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż \scriptstyle \hat \mathcal S jest jednopunktowy. Otóż jeśli \scriptstyle \hat \mathcal S zawiera dwa elementy \scriptstyle \xi oraz \scriptstyle \eta, to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału \scriptstyle \hat x^* (tzn. wybrać taki \scriptstyle \hat x^*, dla którego \scriptstyle \langle \hat x^*, \xi \rangle < \langle \hat x^*, \eta \rangle), a następnie położyć \scriptstyle \tilde \mathcal S := \hat \mathcal S \cup \Gamma, gdzie

\Gamma = \left\{x \in X\colon \langle \hat x^*, x\rangle = \sup_{x \in \hat \mathcal S \cup C} \langle \hat x^*, x\rangle\right\}.

Ponieważ \scriptstyle \tilde \mathcal S jest zbiorem domkniętym mającym infimum z \scriptstyle C, a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności \scriptstyle \hat \mathcal S.

Jeśli \scriptstyle \mathrm{extr}\; C oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru \scriptstyle C, to domknięcie \scriptstyle \mathrm{cl}\;C zbioru \scriptstyle C jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt \scriptstyle C \setminus \mathrm{cl}\; C od zbioru \scriptstyle \mathrm{cl}\;C za pomocą funkcjonału \scriptstyle \overline x^* i rozważając płaszczyznę podpierającą \scriptstyle H(\overline x^*) znaleźć punkt ekstremalny zbioru \scriptstyle C nie należący do \scriptstyle \mathrm{cl}\; C na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. John Bell, David Fremlin: A geometric form of the axiom of choice. Warszawa: Fundamenta Mathematicae 77, 1973, s. 167-170. [1]
  2. Przestrzeń sprzężona \scriptstyle X^* do przestrzeni liniowo-topologicznej \scriptstyle X wyposażona w *-słabą topologię jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo topologiczną.