Twierdzenie Kreina-Milmana

Zbiór wypukły oznaczony kolorem niebieskim wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi zaznaczonymi kolorem czerwonym.

Twierdzenie Kreina-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sfomułowane w 1940 roku przez ukraińskich matematyków Marka Kreina i Davida Milmana; przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermelo-Fraenkela:

Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej $\scriptstyle X$ jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

Pod nazwą „twierdzenie Kreina-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:

Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej $\scriptstyle X^*$ do rzeczywistej przestrzeni unormowanej $\scriptstyle X$ ma punkt ekstremalny.

Dowód

Zbiór $\scriptstyle S$ nazywa się zbiorem podpierającym zbioru $\scriptstyle C \subseteq X,$ jeżeli $\scriptstyle S$ jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym $\scriptstyle C,$ dla którego należenie do $\scriptstyle S$ pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w $\scriptstyle C$ pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora $\scriptstyle x^* \in X^*$ hiperpłaszczyzna

$H = H(x^*) = \left\{x \in X\colon \langle x^*, x\rangle = \max_{x \in C}~\langle x^*, x\rangle\right\}$

jest podpierająca. Niech $\scriptstyle \mathcal S$ oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w $\scriptstyle H$ uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny $\scriptstyle \mathcal M$ w tej rodzinie. Przecięcie $\scriptstyle \hat \mathcal S$ wszystkich zbiorów podpierających z $\scriptstyle \mathcal M$ należy do $\scriptstyle \mathcal M$ (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż $\scriptstyle \hat \mathcal S$ jest jednopunktowy. Otóż jeśli $\scriptstyle \hat \mathcal S$ zawiera dwa elementy $\scriptstyle \xi$ oraz $\scriptstyle \eta,$ to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału $\scriptstyle \hat x^*$ (tzn. wybrać taki $\scriptstyle \hat x^*,$ dla którego $\scriptstyle \langle \hat x^*, \xi \rangle < \langle \hat x^*, \eta \rangle$), a następnie położyć $\scriptstyle \tilde \mathcal S := \hat \mathcal S \cup \Gamma,$ gdzie

$\Gamma = \left\{x \in X\colon \langle \hat x^*, x\rangle = \sup_{x \in \hat \mathcal S \cup C} \langle \hat x^*, x\rangle\right\}.$

Ponieważ $\scriptstyle \tilde \mathcal S$ jest zbiorem domkniętym mającym infimum z $\scriptstyle C,$ a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności $\scriptstyle \hat \mathcal S.$

Jeśli $\scriptstyle \mathrm{extr}\; C$ oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru $\scriptstyle C,$ to domknięcie $\scriptstyle \mathrm{cl}\;C$ zbioru $\scriptstyle C$ jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt $\scriptstyle C \setminus \mathrm{cl}\; C$ od zbioru $\scriptstyle \mathrm{cl}\;C$ za pomocą funkcjonału $\scriptstyle \overline x^*$ i rozważając płaszczyznę podpierającą $\scriptstyle H(\overline x^*)$ znaleźć punkt ekstremalny zbioru $\scriptstyle C$ nie należący do $\scriptstyle \mathrm{cl}\; C$ na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.