Twierdzenie Krulla

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy twierdzenia o ideałach maksymalnych. Zobacz też: inne twierdzenia Krulla.

Twierdzenie Krullatwierdzenie teorii pierścieni mówiące o istnieniu ideałów maksymalnych w dowolnym nietrywialnym pierścieniu z jedynką lub równoważnie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym danego nietrywialnego pierścienia z jedynką[1]. Twierdzenie to zostało sformułowane w 1929 roku przez Wolfganga Krulla i jest równoważne z aksjomatem wyboru (gdyż wykorzystuje równoważny z nim lemat Kuratowskiego-Zorna).

Poniższy dowód obowiązuje dla ideałów lewostronnych bądź w pierścieniach przemiennych dla ideałów obustronnych; obowiązuje on mutatis mutandis dla ideałów prawostronnych.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle \mathcal I oznacza rodzinę wszystkich ideałów właściwych pierścienia \scriptstyle R zawierającą ustalony ideał \scriptstyle I, częściowo uporządkowaną relacją zawierania. Należy wykazać, że w niepustej rodzinie \scriptstyle \mathcal I (należy do niej \scriptstyle I) istnieje element maksymalny – jest to szukany ideał maksymalny pierścienia \scriptstyle R. Niech \scriptstyle \mathcal L będzie łańcuchem w \scriptstyle \mathcal I, wówczas jeśli \scriptstyle I_1, I_2 \in \mathcal L, to \scriptstyle I_1 \subseteq I_2 lub \scriptstyle I_1 \supseteq I_2.

Wystarczy więc dowieść, że \scriptstyle J = \bigcup \mathcal J należy do \scriptstyle \mathcal I, a ponieważ \scriptstyle I \subseteq J, to pozostaje sprawdzić, że \scriptstyle J jest ideałem właściwym:

  • Otóż jeśli \scriptstyle a, b \in J, to istnieją ideały \scriptstyle I_1, I_2 \in \mathcal L, dla których \scriptstyle a \in I_1 i \scriptstyle b \in I_2. Przyjmując dla ustalenia uwagi \scriptstyle I_1 \subseteq I_2 otrzymuje się, iż \scriptstyle a, b \in I_2, skąd \scriptstyle a + b \in I_2, czyli \scriptstyle a + b \in J (podobnie dla \scriptstyle I_2 \subseteq I_1); ponadto jeśli \scriptstyle r \in R oraz \scriptstyle a \in J, to istnieje wtedy taki ideał \scriptstyle I_1 \in \mathcal J, że \scriptstyle a \in I_1, wtedy \scriptstyle ra \in I_1, skąd \scriptstyle ra \in J. Wynika stąd, że \scriptstyle J jest ideałem.
  • Ideał \scriptstyle I jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle 1 \notin I (jeśli \scriptstyle 1 \in I, to \scriptstyle r1 \in I dla dowolnego \scriptstyle r \in R oznacza, że \scriptstyle I = R; z drugiej strony jeżeli \scriptstyle I = R, to \scriptstyle 1 \in I). Skoro wszystkie ideały należące do \scriptstyle \mathcal J są właściwe, to żaden z nich nie zawiera jedynki, czyli również \scriptstyle 1 \notin J, co oznacza, że \scriptstyle J także jest właściwy.

W ten sposób \scriptstyle J \in \mathcal I, a ponieważ suma każdego łańcucha w \scriptstyle \mathcal I należy do \scriptstyle \mathcal I, to z wniosku do lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w rodzinie \scriptstyle \mathcal I istnieje element (ideał) maksymalny.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 10 (1929), 729–744.

Przypisy

  1. Pierwsze sformułowanie wynika z drugiego poprzez przyjęcie ideału trywialnego.