Twierdzenie Lévy'ego-Craméra

Twierdzenie

Niech $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem dystrybuant, a $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji $\varphi$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty $F$. Dodatkowo, $\varphi$ jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$.

Wniosek

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n \to \infty}~\int\limits_\mathbb R~g(x) dF_n(x) = \int\limits_\mathbb R~g(x) dF(x)$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej $g .$

Bibliografia

• Marek Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 203.
• Tadeusz Gerstenkorn, Tadeusz Śródka: Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 368.