Twierdzenie Lévy'ego-Craméra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech (F_n)_{n \in \mathbb N} będzie ciągiem dystrybuant, a (\varphi_n)_{n \in \mathbb N} będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg (\varphi_n)_{n \in \mathbb N} jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji  \varphi wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (F_n)_{n \in \mathbb N} jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty  F . Dodatkowo,  \varphi jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty  F .

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant (F_n)_{n \in \mathbb N} jest słabo zbieżny do dystrybuanty  F wtedy i tylko wtedy, gdy

\lim_{n \to \infty}~\int\limits_\mathbb R~g(x) dF_n(x) = \int\limits_\mathbb R~g(x) dF(x)

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej  g .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Marek Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 203.
  • Tadeusz Gerstenkorn, Tadeusz Śródka: Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 368.