Twierdzenie Lagrange'a (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Lagrange'a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym.

Twierdzenie Lagrange'a

Jeśli dana funkcja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ jest

• ciągła w przedziale $[a, b]$,
• różniczkowalna w przedziale $(a, b)$,

to istnieje taki punkt $c \in (a, b)$, że:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$.

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

Interpretacja geometryczna

Geometrycznie twierdzenie Lagrange'a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu $\left(a, f(a)\right)$ do punktu $\left(b, f(b)\right)$, istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami $\left(a, f(a)\right)$ i $\left(b, f(b)\right)$.

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie $\left(c, f(c)\right)$ wynosi $f'(c)$. Na mocy twierdzenia Lagrange'a jest on równy:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Wartość średnia

Twierdzenie Lagrange'a zapisane w postaci

$~f(b)-f(a)=f'(c)(b - a)$

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów $b$ i $a$ wyraża się przez przyrost wartości zmiennej i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między $a$ i $b$ – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

Dowód

Kładziemy:

$K={f(b)-f(a) \over b-a}$

$~g(x)=f(x)-K(x-a)$

Mamy wtedy:

$~g(a)=f(a)-K(a-a)=f(a)$

oraz

$~g(b)=f(b)-K(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)$

A więc:

$~g(a)=g(b)$, czyli funkcja $~g(x)$ spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, a zatem istnieje punkt $~c \in (a,b)$ taki, że $~g'(c)=0$, z drugiej strony mamy $~g'(x)=f'(x)-K$ i stąd otrzymujemy $~0=g'(c)=f'(c)-K$. Dlatego też $~f'(c)=K={f(b)-f(a) \over b-a}. \quad \Box$

Uogólnienie

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w $\mathbb R ^n$ dla $n>1$) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji $\mathbb R \to \mathbb R ^2$) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

$\| f(b)-f(a) \| \leq |b-a| \cdot sup_{t \in (a,b)} \|f'(t)\|$

Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego $\epsilon >0$ i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale $(a,b)$ kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy $a+\epsilon$ w miejscu $a$ i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest $b$. Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z $\epsilon$ do zera daje, dzięki ciągłości funkcji $f$ tezę.

Zobacz też

• twierdzenie Rolle'a
• twierdzenie Cauchy'ego
• twierdzenie Darboux

Bibliografia

• G. M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 196. ISBN 83-01-02175-6.