Twierdzenie Lagrange'a (teoria grup)

Twierdzenie Lagrange'a – twierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy.

Dokładniej, zachodzi równość

$|G| = |G:H| \cdot |H|$,

gdzie $|G:H|$ oznacza liczbę warstw grupy $G\,$ względem jej podgrupy $H$, zaś $|G|, |H|$ odpowiednio rząd grupy i podgrupy.

Dowód

Niech $G$ będzie grupą skończoną. Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych $\{gH\colon g \in G\}$ grupy $G$ względem podgrupy $H$. Zbiór ten stanowi rozbicie zbioru $G$ na $n = |G \colon H|$ (z definicji indeksu podgrupy) równolicznych ze zbiorem $H$ zbiorów: $g_1H, g_2H, \dots, g_nH$.

Stąd

$G = g_1H \cup g_2H \cup \dots \cup g_nH$,

ponieważ poszczególne warstwy są rozłączne, to

$|G| = |g_1H| + |g_2H| + \dots + |g_nH|$,

a skoro zaś wszystkie warstwy są równoliczne z $H$, jest więc

$|G| = |H| + |H| + \dots + |H| = n |H|$,

zatem

$|G| = |G:H| \cdot |H|$.

Wnioski i uwagi

• Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy. W szczególności, dla dowolnego elementu $g$ danej grupy $G$ prawdziwa jest równość $g^n = e$, gdzie $e$ jest jedynką grupy, a $n$ oznacza rząd grupy.
• Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange'a nie jest prawdziwe, tzn. nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi. Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy'ego oraz twierdzenie Sylowa.
• Twierdzenie to rozumiane jako stwierdzenie o liczbach kardynalnych jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Uogólnienia

Twierdzenie 

Jeżeli $G$ jest skończona oraz $K \leqslant H \leqslant G$, to zachodzi

$|G : H| \cdot |H : K| = |G : K|$.

Dowód 

Z twierdzenia Lagrange'a wynika:

$|G : H| \cdot |H| = |G| = |G : K| \cdot |K|$ oraz

$|H : K| \cdot |K| = |H|$,

czyli

$|G : H| \cdot |H : K| = \frac{|G|}{|H|} \cdot \frac{|H|}{|K|} = \frac{|G:K| \cdot |K|}{|K|} = |G : K|$.

Zobacz też

• indeks podgrupy